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Funzione π(n) (congetture sulla)

Congetture  Teoria dei numeri 

Vi sono numerose congetture relative ai numeri primi che possono essere espresse in termini della funzione π(n). Ne cito solo alcune tra le più famose e rimando per le altre alla voce relativa alle congetture sui numeri primi.

 

Un’antica congettura sulla funzione è che π(x + y) ≤ π(x) + π(y). Dato che i numeri primi diventano progressivamente meno frequenti, la congettura è molto plausibile, eppure è incompatibile con la congettura dell’esistenza di infinite terne di primi con differenze fissate (v. congetture di Hardy e Littlewood sui numeri primi).

 

H. Ishikawa dimostrò nel 1934 che π(x + y) < π(x)π(y).

 

Montgomery e Vaughan dimostrarono che Formula dimostrata da Montgomery e Vaughan.

 

E. Landau dimostrò nel 1909 che la congettura vale per x = y, ossia che π(2x) < 2π(x) per x abbastanza grande e J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld dimostrarono nel 1962 che vale per x = y e x > 10.

 

A. Krawczyk dimostrò nel 1976 che per ogni ε > 0, se x e y sono maggiori di 16 e tali che Condizione che x e y devono soddisfare, allora π(x + y) ≤ (1 + ε)(π(x) + π(y)).

 

Altre congetture famose sulla funzione π sono:

 

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