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Amichevoli unitari (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “amichevoli unitari” i numeri amichevoli, considerando però la somma dei soli divisori unitari, cioè con σ*(n) al posto di σ(n).

Quindi n e m sono amichevoli unitari se σ*(m) = σ*(n) = m + n.

Per esempio,la somma dei divisori unitari di 114 è 1 + 2 + 3 + 6 + 19 + 38 + 57 + 114 = 240, la somma dei divisori unitari di 126 è 1 + 2 + 7 + 9 + 14 + 18 + 63 + 126 = 240 e 240 = 114 + 126.

 

F. Firoozbakt nel 2005 dimostrò che:

  • se (m, n) è una coppia di interi amichevoli unitari tale che m mod 4 = n mod 4 = 2 e nessuno dei due numeri è multiplo di 5, allora (10m, 10n) è una coppia di interi amichevoli unitari;

  • se (m, n) è una coppia di interi amichevoli unitari entrambi multipli di 12 e I due numeri divisi per 12 non hanno divisori in comune con 12, allora Tre mezzi m e tre mezzi n è una coppia di interi amichevoli unitari.

 

Le 19 coppie di amichevoli unitari col minore della coppia inferiore a 1000000 sono:

  • 114, 126 (Hagis, 1971);

  • 1140, 1260 (Hagis, 1971);

  • 18018, 22302 (Hagis, 1971);

  • 32130, 40446 (Hagis, 1971);

  • 44772, 49308 (Hagis, 1971);;

  • 56430, 64530 (Hagis, 1971);

  • 67158, 73962 (Hagis, 1971);

  • 142310, 168730 (Euler, 1750);

  • 180180, 223020 (Hagis, 1971);

  • 197340, 286500 (Hagis, 1971);

  • 241110, 242730 (Hagis, 1971);

  • 296010, 429750 (Hagis, 1971);

  • 308220, 365700 (Hagis, 1971);

  • 462330, 548550 (Hagis, 1971);

  • 591030, 618570 (Hagis, 1971);

  • 669900, 827700 (Hagis, 1971);

  • 671580, 739620 (Hagis, 1971);

  • 785148, 827652 (Hagis, 1971);

  • 815100, 932100 (Hagis, 1971).

 

Si conoscono oggi circa 5 milioni di coppie, incluse tutte le 7896 con un numero inferiore a 2 • 1012.

Qui trovate l'elenco delle 6105 coppie col minore della coppia inferiore a 1012.

 

La massima coppia nota è formata da numeri di 390 cifre (Ball, 2006): 223304260627796788380044893022386603228467076308520631550083336378854476533260817870820768842428128230672778302468613957797555590773281422235026527946649406143937686257668850417770411976365757765459642598011770946191931973202341617676703652287668135048142380591666581120942034036215910612074940880414520591028649001520884722067564126724941480918668931561871283983494072723963608935679555000 e 225813297264064168024764498561963980792831877169435179930144517057973860382812627029219316685137685585237063051030556459833257310226563180371473675236510389592674061571038056725411943313724623683254268128102826728479583407229869109073232652855603898561171176599880006227346578465101853281994502265304242334494645232384476094442383381155495269579944421360158771378553540613636391064320445000.

 

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