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Pell – Lucas (polinomi di)

Polinomi 

I polinomi di Pell – Lucas sono definiti ricorsivamente come: Q0(x) = 2, Q1(x) = 2x, Qn(x) = 2xQn – 1(x) + Qn – 2(x).

Sono polinomi di grado n a coefficienti interi positivi, con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 2n per n > 0.

 

Possono essere considerati una generalizzazione dei numeri di Pell – Lucas, ai quali sono legati dalla relazione Qn(1) = Qn.

Sono legati ai polinomi di Lucas Ln(x) dalla relazione Qn(x) = Ln(2x).

 

Alcune formule che coinvolgono i polinomi di Pell – Lucas, nelle quali Pn(x) è un polinomio di Pell:

Qn(0) = 1 + (–1)n;

Qn(x) = 2xPn(x) + 2Pn – 1(x);

Qn(x) = Pn + 1(x) + Pn – 1(x);

Formula per il calcolo dei polinomi di Pell – Lucas;

Formula per il calcolo dei polinomi di Pell – Lucas;

Qn(x) = 2incosh(ncosh–1(-ix));

Qn + m(x) = Pm– 1(x)Qn(x) + Pm(x)Qn + 1(x);

Qn + m(x) = Qm(x)Qn(x) – (–1)mQnm(x), per nm;

Qn(x)2 = (4x2 + 4)Pn(x)2 + (–1)n4;

Qn(x)2 = Qn + 1(x)Qn – 1(x) + (–1)n(4x2 + 4);

Formula per il calcolo di somme di polinomi di Pell – Lucas;

Formula per il calcolo della derivata di polinomi di Pell – Lucas.

 

Alcune proprietà dei polinomi di Pell – Lucas:

Qn(x) divide Qm(x) se e solo se m è un multiplo dispari di n;

se p è primoQp(x) / x è irriducibile;

Formula per il calcolo dei polinomi di Pell – Lucas, ovvero gli zeri di Qn(x) sono Formula per gli zeri dei polinomi di Pell – Lucas, per k da 0 a n – 1; se n è primo, questi sono la parte immaginaria degli zeri dell’n-esimo polinomio ciclotomico, tranne i casi in cui Coseno di (2k+1)π diviso 2n uguale a zero.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei polinomi di Pell – Lucas, ovvero Funzione generatrice dei polinomi di Pell – Lucas; inoltre Funzione generatrice dei polinomi di Pell – Lucas e Funzione generatrice dei polinomi di Pell – Lucas.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi di Pell – Lucas.

 

Grafico dei primi polinomi di Pell – Lucas

 

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi di Pell – Lucas.

n

Qn(x)

0

2

1

2x

2

4x2 + 2

3

8x3 + 6x

4

16x4 + 16x2 + 2

5

32x5 + 40x3 + 10x

6

64x6 + 96x4 + 36x2 + 2

7

128x7 + 224x5 + 112x3 + 14x

8

256x8 + 512x6 + 320x4 + 64x2 + 2

9

512x9 + 1152x7 + 864x5 + 240x3 + 18x

10

1024x10 + 2560x8 + 2240x6 + 800x4 + 100x2 + 2

11

2048x11 + 5632x9 + 5632x7 + 2464x5 + 440x3 + 22x

12

4096x12 + 12288x10 + 13824x8 + 7168x6 + 1680x4 + 144x2 + 2

13

8192x13 + 26624x11 + 33280x9 + 19968x7 + 5824x5 + 728x3 + 26x

14

16384x14 + 57344x12 + 78848x10 + 53760x8 + 18816x6 + 3136x4 + 196x2 + 2

15

32768x15 + 122880x13 + 184320x11 + 140800x9 + 57600x7 + 12096x5 + 1120x3 + 30x

16

65536x16 + 262144x14 + 425984x12 + 360448x10 + 168960x8 + 43008x6 + 5376x4 + 256x2 + 2

17

131072x17 + 557056x15 + 974848x13 + 905216x11 + 478720x9 + 143616x7 + 22848x5 + 1632x3 + 34x

18

262144x18 + 1179648x16 + 2211840x14 + 2236416x12 + 1317888x10 + 456192x8 + 88704x6 + 8640x4 + 324x2 + 2

19

524288x19 + 2490368x17 + 4980736x15 + 5447680x13 + 3540992x11 + 1391104x9 + 321024x7 + 40128x5 + 2280x3 + 38x

20

1048576x20 + 5242880x18 + 11141120x16 + 13107200x14 + 9318400x12 + 4100096x10 + 1098240x8 + 168960x6 + 13200x4 + 400x2 + 2

 

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