Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Pell (polinomi di)

Polinomi 

I polinomi di Pell sono polinomi definiti ricorsivamente come: P0(x) = 0, P1(x) = 1, Pn(x) = 2xPn – 1(x) + Pn – 2(x).

Sono polinomi di grado n – 1 a coefficienti interi positivi, con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 2n – 1.

 

Possono essere considerati una generalizzazione dei numeri di Pell Pn, ai quali sono legati dalla relazione Pn(1) = Pn.

Sono legati ai polinomi di Fibonacci Fn(x) dalla relazione Pn(x) = Fn(2x).

 

Alcune formule che coinvolgono i polinomi di Pell, nelle quali Qn(x) è un polinomio di Pell – Lucas:

Pn(x) = Qm(x)Pnm(x) + (–1)nPn – 2m(x), per n ≥ 2m;

Formula per il calcolo dei polinomi di Pell;

Formula per il calcolo dei polinomi di Pell;

Formula per il calcolo dei polinomi di Pell;

Pn + m(x) = Pm + 1(x)Pn(x) + Pm(x)Pn – 1(x);

Pn + m(x) = Pn(x)Qm(x) – (–1)mPnm(x), per nm;

Formula per il calcolo dei polinomi di Pell;

Pnm(x) = (–1)m(Pn(x)Pm + 1(x) – Pn + 1(x)Pm(x)), per nm;

Pn + 1(x)Pn – 1(x) – Pn(x)2 = (–1)n;

P2n(x) = Pn(x)Qn(x);

P2n + 1(x) = Pn(x)2 + Pn + 1(x)2;

Formula per il calcolo dei polinomi di Pell;

Pn + 4(x) + Pn + 4(y) – 2(x + y)(Pn + 3(x) + Pn + 3(y)) + (4xy – 2)(Pn + 2(x) + Pn + 2(y)) + 2(x + y)(Pn + 1(x) + Pn + 1(y)) + Pn(x) + Pn(y) = 0;

Pn + 4(x)Pn + 4(y) – 4xyPn + 3(x)Pn + 3(y) – (4x2 + 4y2 + 2)Pn + 2(x)Pn + 2(y) – 4xyPn + 1(x)Pn + 1(y) + Pn(x)Pn(y) = 0;

Formula per il calcolo di somme di polinomi di Pell;

Formula che coinvolge polinomi di Pell;

Formula per il calcolo della derivata dei polinomi di Pell;

Formula per il calcolo della derivata dei polinomi di Pell.

 

Alcune proprietà dei polinomi di Pell:

Pn(x) divide Pm(x) se e solo se n divide m;

Pn(x) e Pn + 1(x) non hanno fattori comuni;

Pn(x) è irriducibile se e solo se n è primo;

Formula per il calcolo dei polinomi di Pell, ovvero gli zeri di Pn(x) sono Formula per gli zeri dei polinomi di Pell, per k da 1 a n – 1; se n è primo, questi sono i volte la parte reale degli zeri dell’n-esimo polinomio ciclotomico;

se Valore della matrice Q, Valore delle potenze della matrice Q, dove I è la matrice identità;

Pn(x) è il determinante di una matrice tridiagonale di ordine n: Formula per il calcolo dei polinomi di Pell come determinanti.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei polinomi di Pell, ovvero Funzione generatrice dei polinomi di Pell; inoltre Funzione generatrice dei polinomi di PellFunzione generatrice dei polinomi di Pell e Funzione generatrice dei polinomi di Pell.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi di Pell.

 

Grafico dei primi polinomi di Pell

 

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi di Pell.

n

Pn(x)

0

0

1

1

2

2x

3

4x2 + 1

4

8x3 + 4x

5

16x4 + 12x2 + 1

6

32x5 + 32x3 + 6x

7

64x6 + 80x4 + 24x2 + 1

8

128x7 + 192x5 + 80x3 + 8x

9

256x8 + 448x6 + 240x4 + 40x2 + 1

10

512x9 + 1024x7 + 672x5 + 160x3 + 10x

11

1024x10 + 2304x8 + 1792x6 + 560x4 + 60x2 + 1

12

2048x11 + 51200x9 + 4608x7 + 1792x5 + 280x3 + 12x

13

4096x12 + 11264x10 + 11520x8 + 5376x6 + 1120x4 + 84x2 + 1

14

8192x13 + 24576x11 + 28160x9 + 15360x7 + 4032x5 + 448x3 + 14x

15

16384x14 + 53248x12 + 67584x10 + 42240x8 + 13440x6 + 2016x4 + 112x2 + 1

16

32768x15 + 114688x13 + 159744x11 + 112640x9 + 42240x7 + 8064x5 + 672x3 + 16x

17

65536x16 + 245760x14 + 372736x12 + 292864x10 + 126720x8 + 29568x6 + 3360x4 + 144x2 + 1

18

131072x17 + 524288x15 + 860160x13 + 745472x11 + 366080x9 + 101376x7 + 14784x5 + 960x3 + 18x

19

262144x18 + 1114112x16 + 1966080x14 + 1863680x12 + 1025024x10 + 329472x8 + 59136x6 + 5280x4 + 180x2 + 1

20

524288x19 + 2359296x17 + 4456448x15 + 4587520x13 + 2795520x11 + 1025024x9 + 219648x7 + 25344x5 + 1320x3 + 20x

 

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.