Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Altamente fattorizzabili (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “altamente fattorizzabili” i numeri naturali che hanno un numero di partizioni moltiplicative (ossia di fattorizzazioni non ordinate) maggiore di tutti i numeri inferiori.

Per esempio, 24 ha 7 partizioni moltiplicative: 24, 12 • 2, 8 • 3, 6 • 4, 6 • 2 • 2, 4 • 3 • 2 e 3 • 2 • 2 • 2 e tutti gli interi inferiori ne hanno di meno.

 

La tabella seguente mostra i numeri altamente fattorizzabili fino a 1000 e i corrispondenti numeri di partizioni moltiplicative pm(n) (E.R. Canfield, Paul Erdös e Carl Pomerance, 1981).

n

pm(n)

1

1

4

2

8

3

12

4

16

5

24

7

36

9

48

12

72

16

96

19

120

21

144

29

192

30

216

31

240

38

288

47

360

52

432

57

480

64

576

77

720

98

960

105

 

Dato che il numero di partizioni moltiplicative dipende solo dagli esponenti dei suoi fattori primi, come nel caso dei numeri altamente composti, se un intero è altamente fattorizzabile, gli esponenti dei suoi fattori primi sono ordinati e non crescenti; vale a dire che se Scomposizione di n in fattori primi e pk < pk + 1, allora ekek + 1. Nessun primo può essere saltato, cioè non comparire nella scomposizione, se compaiono primi maggiori; quindi un numero altamente fattorizzabile è il prodotto di primoriali.

 

Non tutti i numeri altamente fattorizzabili hanno un numero di fattori primi superiore a quello dei numeri inferiori: la minima eccezione è 120 = 23 • 3 • 5, che ha meno fattori di 96 = 25 • 3. Lo stesso vale per i fattori primi distinti: la minima eccezione è 16 = 24, che ha meno fattori primi differenti di 12 = 22 • 3.

 

E.R. Canfield, Paul Erdös e Carl Pomerance dimostrarono nel 1981 che il massimo fattore primo di un numero n altamente fattorizzabile è maggiore di Limite inferiore per il massimo fattore primo di un numero altamente fattorizzabile.

 

Tra i primi numeri altamente fattorizzabili compaiono vari fattoriali, e questo sembra ragionevole, perché tali numeri tendono ad avere un gran numero di fattori primi piccoli, ma Canfield, Erdös e Pomerance dimostrarono nel 1981 che tali casi sono in numero finito, cioè che per n abbastanza grande, n! non è altamente fattorizzabile.

 

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.