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Amichevoli ridotti (numeri)

Teoria dei numeri 

I numeri amichevoli ridotti sono quelli che formano le coppie di numeri naturali m e n tali che la somma dei divisori dell’uno, escluso il numero stesso, ridotta di uno è uguale all’altro, ovvero tali che σ(m) – 1 = σ(n) – 1 = m + n.

Sono detti anche “numeri fidanzati”.

 

Il minimo esempio è dato dai numeri 48 e 75: σ(48) – 48 = 76 e σ(75) – 75 = 49.

 

Le 17 coppie di numeri amichevoli ridotti col minore della coppia inferiore a 1000000 sono:

  • 48, 75 (Nasir, 1946);

  • 140, 195 (Makowski, 1960);

  • 1050, 1925 (Makowski, 1960);

  • 1575, 1648 (Garcia, 1968);

  • 2024, 2295 (Garcia, 1968);

  • 5775, 6128 (Garcia, 1968);

  • 8892, 16587 (Garcia, 1968);

  • 9504, 20735 (Garcia, 1968);

  • 62744, 75495 (Garcia, 1968);

  • 186615, 206504 (Walter E. Beck e Rudolph M. Najar, 1977);

  • 196664, 219975 (Walter E. Beck e Rudolph M. Najar, 1977);

  • 199760, 309135 (Walter E. Beck e Rudolph M. Najar, 1977);

  • 266000, 507759 (Walter E. Beck e Rudolph M. Najar, 1977);

  • 312620, 549219 (Walter E. Beck e Rudolph M. Najar, 1977);

  • 526575, 544784 (Hagis e Lord, 1977);

  • 573560, 817479 (Hagis e Lord, 1977);

  • 587460, 1057595 (Beck e Najar, 1977).

 

Si conoscono oggi tutte le 1946 coppie con almeno un numero inferiore a 1012, che trovate qui.

 

In tutte le coppie note i numeri sono l’uno pari e l’altro dispari, ma non è stato dimostrato che questa regola debba valere sempre. Se una coppia del genere esiste, σ(m) = σ(n) = m + n + 1 è dispari e quindi ciascuno dei due numeri è un quadrato o il doppio di un quadrato.

 

Nel 1977 Peter Hagis Jr. e Graham Lord dimostrarono che in una coppia di numeri amichevoli ridotti senza fattori primi in comune:

  • il prodotto dei due numeri ha almeno 4 fattori primi distinti;

  • se i due numeri hanno la stessa parità, il prodotto dei due numeri ha almeno 21 fattori primi distinti;

  • se i due numeri hanno la stessa parità, ciascuno dei due è maggiore di 1030.

I due matematici dimostrarono inoltre che se (pm, n) è una coppia di numeri amichevoli ridotti con p primo, p è dispari, m è dispari e maggiore di 3 e n è pari. Non si conosce alcuna coppia del genere e potrebbero non esisterne.

 

Si conoscono 28 coppie nelle quali i due numeri non sono multipli di quadrati, tra le quali tutte quelle col minore della coppia inferiore a 2 • 1011 (per l’elenco v. numeri amichevoli unitari ridotti).

In questi casi i numeri sono anche amichevoli unitari ridotti, amichevoli bi-unitari ridotti e amichevoli infinito-unitari ridotti.

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