Una partizione piana di un numero naturale n è una disposizione rettangolare di interi positivi, tali che la loro somma sia n e nessuno sia superiore a quello alla sua sinistra o al di sopra.
Per esempio, una partizione piana di 27 è la seguente.
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5 |
4 |
2 |
1 |
1 |
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3 |
3 |
2 |
1 |
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3 |
1 |
1 |
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Un’interpretazione fisica si ottiene immaginando pile di scatole identiche, ammassate in un angolo, in modo che ciascuna si appoggi alla pila a sinistra e in a quella alto, tranne quelle estreme, appoggiate ai muri. Una partizione piana rappresenterebbe allora una disposizione stabile, con gli interi che indicano l’altezza di ogni singola pila.
La figura seguente mostra la disposizione corrispondente alla partizione piana mostrata sopra.
Partizioni ottenute riflettendo specularmente la disposizione rispetto alla bisettrice dell’angolo superiore sinistro sono considerate distinte.
Per esempio, le 13 partizioni piane di 4 sono:
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4 |
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3 |
1 |
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3 |
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1 |
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2 |
2 |
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2 |
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2 |
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2 |
1 |
1 |
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2 |
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1 |
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1 |
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2 |
1 |
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1 |
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1 |
1 |
1 |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
1 |
1 |
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1 |
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1 |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
1 |
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1 |
1 |
Il numero di partizioni piane si può ottenere dalla ricorrenza a(0) = 1, 
.
Il numero di partizioni piane di n tende a 
(E.M. Wright, 1931).
La tabella seguente mostra i numeri di partizioni piane per n sino a 20.
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n |
Numero di partizioni piane |
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0 |
1 |
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1 |
1 |
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2 |
3 |
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3 |
6 |
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4 |
13 |
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5 |
24 |
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6 |
48 |
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7 |
86 |
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8 |
160 |
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9 |
282 |
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10 |
500 |
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11 |
859 |
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12 |
1479 |
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13 |
2485 |
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14 |
4167 |
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15 |
6879 |
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16 |
11297 |
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17 |
18334 |
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18 |
29601 |
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19 |
47330 |
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20 |
75278 |
La funzione generatrice per il numero di partizioni piane di n è 
(Percy Alexander Mac Mahon, 1897).
MacMahon dimostrò nel 1897 che il numero di partizioni piane che possono essere rappresentate in un rettangolo a × b (senza necessariamente riempirlo), con interi non superiori a c è 
, che nel caso particolare a = b = c = n, ossia quando le partizioni possono essere contenute in un cubo di spigolo n, si riduce a 
.
La funzione generatrice per il numero di partizioni piane che possono essere rappresentate in un rettangolo a × b, con interi non superiori a c è 
(Mac Mahon, 1897).
La tabella seguente mostra i numeri di partizioni piane con a = b = c = n, per n sino a 30 (Jonas Wallgren, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
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n |
Numero di partizioni piane contenute in un cubo di spigolo n |
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0 |
1 |
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1 |
2 |
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2 |
20 |
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3 |
980 |
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4 |
232848 |
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5 |
267227532 |
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6 |
1478619421136 |
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7 |
39405996318420160 |
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8 |
5055160684040254910720 |
|
9 |
3120344782196754906063540800 |
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10 |
9265037718181937012241727284450000 |
|
11 |
132307448895406086706107959899799334375000 |
|
12 |
9085552167600874784841331542959517939562500000000 |
|
13 |
2999857765812020084460232816316708564911203617625000000000 |
|
14 |
4762064017638745792086082881004254292914025372882289895393600000000 |
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15 |
36341729505476900399799665385361772930508838969818479733267909524046796800000 |
|
16 |
1333238967268838729644960699395260091156640392837595395230823030619103588479705246924800 |
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17 |
235116444976322502829475826364534598822840542738281621552968350050953479641376902283548777986211840 |
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18 |
199303303578938513961809502550780198457205495201788549642937209410771853197084068107967133483277796725024706560 |
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19 |
812061577102174649897256643006161014528116972220409359447633569655603949704105564686382037239983539940432060105217072117248 |
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20 |
15903582500804731054469166508153509542504015776668691671980315420897593303913451678609559537356540537072433389911708414257469432313587968 |
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21 |
1497003257511731829618095714758691754818522412657295173490755463021981347981334341653789155590248600737096343068622822807378418999952072332139445695336 |
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22 |
677273209014991763684722160238012272459548041591725717044026670466472754766957344003971387714019541707443992054565305220998913975936867810757036368455748792902018880 |
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23 |
1472689312552743961773003516937376479183816536804874413638465103589720554014669306091409064899869759945435049629673416647529181200974182138091988906561299052441032408116134797199360 |
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24 |
15390690529502661189934911114310687265739790211878983873078546973857642349993566515646978891180046784926002868770725078777912725483639881698342723128753597962517146493159874788494534703773119479808 |
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25 |
773035128749818341441692290901361454234129847092443974991885593081930207358815888017884684680810253634129591298294080429914311081972359667273189535520343256112864738534186275078766042944162627750280969784148754432 |
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26 |
186607710783090953085091890540568291078433307463174834712420642920012496256042508890033174100966295967230306641462454227795050949996420104073366537261721604289224646698094229840186621912893540628892417927767347806952607241834070016 |
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27 |
216493472167029164829404176217595295876982124629639164901363905505493687056512048678045247615086058553848868886016694490638686171617795008032758381539219877002903870158100869739949045109753349408380389823051351387943803829283959092110359579278704640 |
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28 |
1207093751232045965652145196012977782656062171071678944283228401625752002583120625197115503444349910088121042065264786683292112587981869177641070884577572148064270466601343386253229247393542686730893903254315023846194158090248191982409428353579922989917563551943229440 |
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29 |
32345561312044592958978456758292523061262532603287091595989049111140722640787075286468686333217737237574991780675240189147360564332394614940260534022935264435133722823590840382415752338095045288371277471854040819487437838495061184266431406734802954149661596886497896925368022402739470336 |
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30 |
4165457904340919485420942168075326611541373543430798671358047428426506925547438251610506720329700499354829616209137772863162211410372528376990867545521482362075056103720140710647411783904290355185482877153598793526763431130749282194115544782656143919020194290255761694152890975799253442233181825888394674176 |
Il concetto può essere esteso a partizioni solide, ma in questo caso non si conoscono funzioni generatrici o ricorrenze per calcolarne facilmente il numero.
Tabelle numeriche
Il numero di partizioni piane di n per n sino a 1000.Vedi anche
Numero di partizioni, Numero di partizioni piane auto-complementari, Numero di partizioni piane ciclicamente simmetriche, Numero di partizioni piane discendenti, Numero di partizioni piane simmetriche, Numero di partizioni piane totalmente simmetriche.Bibliografia
- Bressoud, David M.; Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, Cambridge, Cambridge University Press, 1999.
- Stanley, Richard P.; Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol II, 1999.