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Pell (costante di)

Teoria dei numeri 

L’equazione x2ky2 = –1 ha soluzioni intere per se e solo se lo sviluppo in frazione continua di Radice quadrata di k ha un periodo con un numero dispari di termini, ma in che modo sono distribuiti gli interi che soddisfano questa condizione?

Chiamando f(n) il numero di tali interi non superiori a n, e g(n) il numero di quelli non multipli di quadrati, P. Stevenhagen suggerì nel 1993 che Formula per la crescita asintotica di f(n) e Formula per la crescita asintotica di g(n), dove v(n) è l’esponente della massima potenza di 2 che divide n, P è chiamata “costante di Pell” e K è la costante di Landau – Ramanujan.

 

Dalle stesse congetture seguirebbe che il rapporto tra g(n) e il numero di interi non superiori a n non multipli di quadrati nè di primi della forma 4k + 3 tende a P.

 

La costante di Pell è Formula per la costante di Pell ed è stato dimostrato che è irrazionale.

Qui trovate le prime 105 cifre della costante (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Condizioni necessarie, ma non sufficienti perché l’equazione abbia soluzioni intere sono che k non sia multiplo di 4 e abbia solo fattori primi della forma 4m + 1.

 

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