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Frazioni pandigitali

Rappresentazione dei numeri 

Sono le frazioni che, tra numeratore e denominatore, contengono tutte le cifre della base, di solito 10. Normalmente si aggiunge il requisito che le cifre compaiano una sola volta e che numeratore e denominatore non inizino con lo zero.

 

Con queste limitazioni, è possibile calcolarne il numero: le 10 cifre possono essere disposte in 10! modi, in 9! dei quali lo zero si trova al primo posto, quindi restano 10! – 9! disposizioni. Si può spezzare la sequenza delle cifre, per formare numeratore e denominatore, in 8 posizioni diverse, da dopo la prima cifra a prima dell’ultima, ma in una di queste posizioni si finirebbe con lo spezzare prima dello zero, lasciando numeratore o denominatore che iniziano per zero. Abbiamo quindi 7(10! – 9!) = 22861440 modi di formare numeratore e denominatore e altrettante frazioni pandigitali.

 

Tali frazioni compaiono a volte in problemi di matematica ricreativa, nei quali si chiede di trovare i casi nei quali la frazione si semplifichi, lasciando un intero o, scambiando numeratore e denominatore, una frazione egizia; sono utilizzati più spesso i casi nei quali la soluzione è unica, come per 7 e 12.

La tabella seguente dà il numero di soluzioni e le soluzioni con numeratore minimo e massimo per frazioni pandigitali uguali a un intero n, per n da 2 a 20.

n

Numero soluzioni

Soluzione con numeratore minimo

Soluzione con numeratore massimo

2

48

Frazione pandigitale uguale a 2

Frazione pandigitale uguale a 2

3

6

Frazione pandigitale uguale a 3

Frazione pandigitale uguale a 3

4

8

Frazione pandigitale uguale a 4

Frazione pandigitale uguale a 4

5

12

Frazione pandigitale uguale a 5

Frazione pandigitale uguale a 5

6

0

-

-

7

1

Frazione pandigitale uguale a 7

Frazione pandigitale uguale a 7

8

16

Frazione pandigitale uguale a 8

Frazione pandigitale uguale a 8

9

3

Frazione pandigitale uguale a 9

Frazione pandigitale uguale a 9

10

0

-

-

11

0

-

-

12

1

Frazione pandigitale uguale a 12

Frazione pandigitale uguale a 12

13

1

Frazione pandigitale uguale a 13

Frazione pandigitale uguale a 13

14

6

Frazione pandigitale uguale a 14

Frazione pandigitale uguale a 14

15

3

Frazione pandigitale uguale a 15

Frazione pandigitale uguale a 15

16

1

Frazione pandigitale uguale a 16

Frazione pandigitale uguale a 16

17

19

Frazione pandigitale uguale a 17

Frazione pandigitale uguale a 17

18

6

Frazione pandigitale uguale a 18

Frazione pandigitale uguale a 18

19

4

Frazione pandigitale uguale a 19

Frazione pandigitale uguale a 19

20

12

Frazione pandigitale uguale a 20

Frazione pandigitale uguale a 20

 

La tabella seguente dà il numero di soluzioni e le soluzioni con numeratore minimo e massimo per frazioni pandigitali senza lo zero uguali a un intero n, per n da 2 a 20.

n

Numero soluzioni

Soluzione con numeratore minimo

Soluzione con numeratore massimo

2

12

Frazione pandigitale uguale a 2

Frazione pandigitale uguale a 2

3

2

Frazione pandigitale uguale a 3

Frazione pandigitale uguale a 3

4

4

Frazione pandigitale uguale a 4

Frazione pandigitale uguale a 4

5

12

Frazione pandigitale uguale a 5

Frazione pandigitale uguale a 5

6

3

Frazione pandigitale uguale a 6

Frazione pandigitale uguale a 6

7

7

Frazione pandigitale uguale a 7

Frazione pandigitale uguale a 7

8

46

Frazione pandigitale uguale a 8

Frazione pandigitale uguale a 8

9

3

Frazione pandigitale uguale a 9

Frazione pandigitale uguale a 9

10

0

-

-

11

0

-

-

12

4

Frazione pandigitale uguale a 12

Frazione pandigitale uguale a 12

13

3

Frazione pandigitale uguale a 13

Frazione pandigitale uguale a 13

14

8

Frazione pandigitale uguale a 14

Frazione pandigitale uguale a 14

15

2

Frazione pandigitale uguale a 15

Frazione pandigitale uguale a 15

16

3

Frazione pandigitale uguale a 16

Frazione pandigitale uguale a 16

17

27

Frazione pandigitale uguale a 17

Frazione pandigitale uguale a 17

18

1

Frazione pandigitale uguale a 18

Frazione pandigitale uguale a 18

19

2

Frazione pandigitale uguale a 19

Frazione pandigitale uguale a 19

20

0

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