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Solitari (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “solitari” i numeri naturali privi di “amici”, cioè tali che il loro rapporto σ(n) / n non si ottiene da alcun altro intero (v. numeri amichevoli (II)).

 

Sono solitari tutti i numeri duffiniani, cioè i numeri per i quali σ(n) e n non hanno divisori comuni, quali i primi e le loro potenze, tuttavia ne esistono altri, come 18, 45, 48, 52, 136, 148, 160, 162, 176, 192, 196, 208, 232, 244, 261, 272, 292, 296, 297, 304, 320, 352, e 369 che sono stati dimostrati solitari (Hickerson 2002), pur avendo σ(n) e n divisori comuni; per esempio: σ(18) = 39, σ(45) = 78.

 

Moltissimi numeri, come 10, 14, 15, 20, 22, 26, 33, 34, 38, 44, 46, 51, 54, 58, 62, 68, 69, 70, 72, 74, 76, 82, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 94, 95, 99, sono ritenuti solitari, non essendo stato trovato un amico inferiore a 1030, ma non se ne conosce alcuna dimostrazione.

Non è possibile dimostrare solitario un numero con una ricerca tra un numero finito di candidati; il minimo “amico” di un intero può essere arbitrariamente grande. Per esempio, il minimo “amico” di 24 è 91963648.

 

Paul A. Loomis dimostrò nel 2015 che:

  • se n è il quadrato di un prodotto di primi distinti tutti della forma 6k + 5, n è solitario;

  • se n è dispari e MCD(n2, σ(n2) non è multiplo di quadrati, n è solitario;

  • se p è primo, 9p2 è solitario;

  • se p è primo, 25p2 è solitario;

  • se p è primo, σ(32n) non è multiplo di quadrati e p è della forma 3k + 1, 32np2m è solitario

  • se p è primo, σ(32n) non è multiplo di quadrati, p è della forma 3k + 2 e m non è della forma 9r + 4, 32np2m è solitario;

  • se k ≤ (2n +1)log23 – 3 e k non è della forma 6m + 5, 2k32n è solitario;

  • se p è un primo dispari, 2p2n è solitario;

Queste dimostrazioni provano anche che esistono infiniti numeri solitari che non siano primi o potenze di primi.

 

Dato che 10 è il primo numero del quale non si sappia se è amichevole o solitario, su di esso si sono concentrati molti sforzi; nel 2006 Mary Drennen, Tracey Gunter, Peter Johnson e Jeffrey Ward dimostrarono che un eventuale “amico” è un quadrato della forma 52an2b, con n dispari, inoltre:

  • n non è multiplo di 3 e 5 ed è multiplo di almeno 5 fattori primi distinti;

  • uno dei fattori primi di n è della forma 3k + 1, elevato a un esponente della forma 3m + 1;

  • se a è dispari, uno dei fattori primi di n è della forma 4k + 1.

Nel 2008 Jeffrey Ward aggiunse che se n è multiplo di un solo primo della forma 3k + 1, il corrispondente esponente dev’essere della forma 9m + 4.

 

Nel 1977 C.W. Anderson e D. Hickerson proposero la congettura che i numeri solitari abbiano densità asintotica nulla. Nel 1996 Carl Pomerance affermò d’aver dimostrato che la congettura è falsa, tuttavia la dimostrazione non fu mai pubblicata.

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