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Firoozbakht (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

La più famosa delle due congetture di Farideh Firoozbakht fu da questi proposta nel 1982 e afferma che Formula per la congettura di Firoozbakht, dove pn è l’n-esimo numero primo.

 

La congettura implica che pn + 1pn < log2pn – logpn per n abbastanza grande ed è pertanto più forte delle congetture di Cramér e di Cramér – Granville.

E’ stata verificata fino a 4.444 • 1012 dallo stesso Firoozbakht, in seguito fino a 55350776431903243 e poi sino a 4 • 1018 (Alexei Kourbatov, 2015), ma è da molti ritenuta falsa, perché contraddice il modello di Cramér sulla distribuzione dei primi.

 

La congettura si può anche esprimere come Formula per la congettura di Firoozbakht, ovvero Formula per la congettura di Firoozbakht e questo ha suggerito alcune varianti: la prima, più debole, è che Formula per una versione più debole della congettura di Firoozbakht; la seconda, più forte, è che Formula per una versione più forte della congettura di Firoozbakht, per n > 5. Si conoscono in effetti solo 6 primi che violino la congettura in questa forma: 2, 3, 7, 113, 1327 e 1693182318746371 (John W. Nicholson, 2013), ma i pareri degli esperti su questa versione della congettura sono divisi.

 

La seconda congettura, molto meno nota, è che ogni primo maggiore di 17 si possa esprimere come 2p + 3q, con p e q primi dispari. Restano quindi esclusi solo i primi 6 numeri primi: 3, 5, 7, 11, 13 e 17.

 

I numeri dispari non rappresentabili in quel modo non sono poi tanto rari: tutti gli interi della forma n = 6k + 3, tali che (n - 6) / 3 non sia primo, infatti, non sono rappresentabili, ma nessuno di essi, a parte 3, è primo.

La congettura può essere proposta in una forma leggermente più generale, asserendo che tutti gli interi della forma 6n + 1 o 6n + 5 maggiori di 17 sono rappresentabili come 2p + 3q, con p e q primi. In questa forma assomiglia alla congettura di Goldbach, è probabilmente vera e altrettanto difficile da dimostrare.

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