Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Lychrel (numeri di)

Rappresentazione dei numeri  Vari 

Prendiamo un numero naturale qualsiasi, come 281, invertiamo l’ordine delle cifre e sommiamo il numero ottenuto, 182, a quello originale, ottenendo 463. Ripetendo il procedimento, otteniamo 827, 1555, 7106, 13123, 45244, 89498. A questo punto abbiamo ottenuto un numero palindromo. In generale il procedimento porta a un numero palindromo in un numero più o meno grande di passi e la congettura dei numeri palindromi afferma che non vi sono eccezioni.

 

Per la maggior parte dei numeri bastano pochi passi: dei 900 interi di tre cifre, solo 75 richiedono più di 5 passi, la stragrande maggioranza dei numeri inferiori a 10000 richiede meno di 10 iterazioni per arrivare a un palindromo e solo 251 di essi non producono un palindromo entro 23 iterazioni. Il numero medio di iterazioni cresce lentamente al crescere del numero considerato; è opinione comune che esistano numeri che richiedono un numero di passi arbitrariamente grande.

Alcuni record per quanto riguarda il numero di iterazioni:

  • il numero minore di 10000 che richiede più passi è 89, a partire dal quale si ottiene il palindromo 8813200023188 in 24 passi;

  • il minimo numero che richieda più di 50 iterazioni è 10911, dal quale si ottiene il palindromo 4668731596684224866951378664 in 55 passi;

  • il minimo numero che richieda più di 100 iterazioni è 1009049407, dal quale si arriva a 1543434266587555114779722279774115557856624343451 in 101 iterazioni;

  • il record per il numero di passi spetta per ora a 1186060307891929990, dal quale si ottiene il palindromo 44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544 in 261 passi (Jason Doucette, 2005).

 

VanLandingham nel 2002 battezzò “numeri di Lychrel” le eccezioni alla congettura, da un anagramma lievemente modificato del nome della sua ragazza, Cheryl.

L’aspetto curioso è che nessun numero è stato effettivamente dimostrato essere un numero di Lychrel; semplicemente per alcuni numeri non è stato ottenuto un palindromo, pur procedendo per un gran numero di iterazioni. In particolare, gli sforzi si sono concentrati sul minimo e più famoso esempio, 196:

  • John Walker lo inseguì per 2415836 iterazioni in un arco di tre anni, dal 1987 al 1990, senza trovare un palindromo, ma generando un numero di un milione di cifre;

  • nel 1995 Tim Irvin arrivò a 2 milioni, in due mesi di calcolo;

  • nel 2000 Jason Doucette arrivò a 13 milioni;

  • nel 2006 Wade VanLandingham arrivò a 300 milioni;

  • nel 2011 Romain Dolbeau completò un miliardo di iterazioni, arrivando a un numero di 413930770 cifre, portate a 600 milioni l’anno seguente.

 

La tabella seguente riporta i dati relativi ad alcuni tra i numeri esaminati più a fondo.

Numero

Numero iterazioni

Cifre dell’ultimo numero

Autore e anno

196

Oltre 1000000000

600000000

Romain Dolbeau, 2012

879

507311639

210000000

Eric Goldstein, 2005

1997

362373714

150000000

Matt Stenson, 2006

7059

107259370

44400000

Matt Stenson, 2003

9999

60392862

25000000

Vaughn Suite, 2005

10563

83582443

34600000

Matt Stenson, 2003

10553

79967949

33100000

Matt Stenson, 2003

10577

217440699

90000000

Pierre Laurent, 2006

10877

101452280

44000000

Matt Stenson, 2005

99999

60400631

25000000

Vaughn Suite, 2005

999999

60396593

25000000

Vaughn Suite, 2005

9999999

60395527

25000000

Vaughn Suite, 2005

99999999

60393206

25000000

Vaughn Suite, 2005

 

Se un numero è un numero di Lychrel, lo è anche il numero ottenuto da questo scrivendo le cifre in ordine inverso, così se 196 è un numero di Lychrel, lo è anche 691.

 

Se esiste almeno un numero di Lychrel, ne esistono infiniti (tutti quelli generati applicando il procedimento descritto a tale numero), ma potrebbe benissimo non esisterne nessuno.

 

Alcuni esperti ritengono che un numero palindromo vada considerato “arrivato” dopo zero iterazioni e non vada esaminato del tutto, mentre la maggioranza accetta i palindromi come numeri di partenza. La questione è in fin dei conti poco rilevante, perché si possono comunque considerare i numeri ottenuti a partire dai palindromi. Così se non si vuole accettare 9999 come numero di Lychrel, bisogna esaminare il numero prodotto dalla prima iterazione, ossia 19998.

In particolare i numeri formati da una sequenza di quattro o più 9 sembrano essere numeri di Lychrel.

Il minimo (probabile) numero di Lychrel palindromo è 9999, il minimo non formato da cifre tutte uguali è 990099.

 

I minimi candidati a essere numeri di Lychrel, ovvero i minimi interi a partire dai quali non si sia finora ottenuto un numero primo, sono: 196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986, 1495, 1497, 1585, 1587, 1675, 1677, 1765, 1767, 1855, 1857, 1945, 1947, 1997, 2494, 2496, 2584, 2586, 2674, 2676, 2764, 2766, 2854, 2856, 2944, 2946, 2996, 3493, 3495, 3583, 3585, 3673, 3675.

 

Dagli elenchi dei numeri di Lychrel normalmente si escludono i numeri dai quali si ottiene a un certo punto la stessa sequenza che si ottiene da un numero di Lychrel inferiore, come 887, ottenuto dalla prima iterazione di 196 o 295, che genera 887 alla prima iterazione e quindi confluisce nella sequenza che inizia con 196.

L’elenco dei probabili numeri di Lychrel inferiori a 100000 ridotto in questo modo è: 196, 879, 1997, 7059, 10553, 10563, 10577, 10583, 10585, 10638, 10663, 10668, 10697, 10715, 10728, 10735, 10746, 10748, 10783, 10785, 10787, 10788, 10877, 10883, 10963, 10965, 10969, 10977, 10983, 10985, 12797, 12898, 13097, 13197, 13694, 14096, 14698, 15297, 15597, 18598, 18798, 19098, 20459, 30389, 30399, 30929, 30959, 30979, 40069, 40429, 50569, 50579, 59299, 60289, 60489, 60659, 60689, 70379, 70559, 70949, 80049, 80059, 80069, 80269, 80279, 80289, 80439, 80489, 80669, 89099, 89899, 90379, 90579.

Qui trovate l’elenco dei probabili numeri di Lychrel inferiori a 109 (Wade VanLandingham).

 

I numeri di Lychrel dipendono dalla base; Heiko Harboth dimostrò che esistono in base 2 (Mathematics Magazine, Marzo 1973); il primo è 101102 = 22, che produce 101101002, 10111010002, 1011110100002, … aggiungendo ogni 4 passaggi un 1 prima della metà e uno 0 in coda; in seguito è stata trovata una dimostrazione generale per tutte le potenze di 2

Dimostrazioni analoghe sono state ottenute (David Seal, 1996) per varie basi (dove (k)n indica n ripetizioni della cifra k):

  • 101102 = 22, 10011012 = 77 in base 2;

  • 103324 = 318, 10010131324 = 266718, 10020130324 = 270798 e 10000003001313331213334 = 4398859679359 in base 4 (per l’ultimo numero non è stato escluso che la sequenza generata confluisca in quella prodotta partendo da un numero inferiore);

  • 1033202000232(2)n2302333113230 in base 4;

  • 1246277(A)nA170352495681825A5026571A506181864A5143171(0)n0872542 in base 11;

  • 10023AB83E3B983CFGEC556G4G010(0)n0FGCG10FG505GF020CGF(G)nGG11G4F655DDGGB299B3D38BB320G in base 17;

  • 1N5ELA6C(P)nP6E7(0)n0D59ME5N in base 26.

Un numero di Lychrel di 200 cifre è stato trovato anche in base 20.

 

E’ improbabile che esista una dimostrazione altrettanto semplice in base 10, almeno per numeri non troppo grandi, perché sono stati esaminati tutti i numeri fino a 18 cifre e non sono state notate configurazioni così semplici.

 

I numeri sicuramente di Lychrel in base 2 inferiori a 10000 sono: 22, 77, 442, 537, 775, 1066, 1081, 1082, 1085, 1115, 1562, 1575, 1587, 2173, 3355, 3599, 3871, 4099, 4153, 4185, 4193, 4202, 4285, 4402, 4633, 4666, 6163, 6166, 6374, 9241, 9466, 16544 (Erhart Ecker, 2011).

Si conoscono 431 numeri inferiori a 1000000 sicuramente di Lychrel in base 2, oltre a 47 per i quali la dimostrazione è solo “sperimentale”, nel senso che non si è raggiunto un palindromo dopo un elevato numero di iterazioni, ma neppure è stata trovata una semplice configurazione non palindroma nelle cifre, come nel caso di 22: 4262, 17498, 33378, 33898, 65945, 66186, 66806, 67321, 69652, 79866, 82061, 139674, 197014, 262413, 262742, 262898, 263045, 263650, 264013, 265697, 266732, 274545, 280820, 295082, 295213, 295705, 296954, 312826, 395030, 399598, 399603, 526070, 526154, 526225, 529034, 531350, 532972, 540778, 541546, 545706, 553457, 590105, 786702, 788346, 790462, 922319, 983199 (Erhart Ecker, 2011).

Qui trovate l’elenco dei numeri di Lychrel in base 2 inferiori a 106 dimostrati tali (Erhart Ecker, 2011).

 

I primi probabili numeri di Lychrel in base 3 sono: 103, 746, 805, 2231, 2326, 2671, 2725, 2959, 2969, 3679, 4421, 4430, 4439, 4448, 5894, 6626, 6638, 6686, 6698, 6733, 6741, 6779, 6789, 6793, 6943, 7124, 7365, 7849, 8093, 8801, 8836, 10771, 11078, 11158, 13184, 13361, 17558, 17639, 19115, 19196 (Klaus Brockhaus, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

I primi probabili numeri di Lychrel in base 4 sono: 290, 318, 719, 795, 799, 1210, 3903, 4199, 4207, 4219, 4236, 4278, 4279, 4294, 4326, 4333, 4334, 4338, 4402, 4598, 4662, 4726, 5046, 5357, 6157, 6174, 7246, 7247, 7295, 7407, 7549, 8063, 8191, 9211, 12319, 12431, 12463, 12539, 15487, 16519, 16587 (Klaus Brockhaus, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.