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Ulam (numeri di)

Sequenze 

StanisÅ‚aw Marcin Ulam (Lemberg, allora impero austro-ungarico, oggi Lvóv, Polonia, 13/4/1909 – Santa Fe, New Mexico, 13/5/1984), studiando automi cellulari unidimensionali, costruì nel 1964 una sequenza di numeri naturali iniziando con 1 e 2 e aggiungendo ogni volta il minimo intero che possa essere espresso in un solo modo come somma di due distinti numeri precedenti.

La sequenza è quindi costituita da 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77,82, 87, 97, 99, 102….

La sequenza non contiene 7, perché 7 = 6 + 1 = 4 + 3, ma contiene 8, perché 6 + 2 è l’unico modo per ottenere 8 con interi appartenenti alla sequenza; contiene invece 4 che si può rappresentare come 3 + 1, mentre 2 + 2 non è una rappresentazione valida, perché i due numeri devono essere distinti.

La sequenza è infinita, perché se contenesse solo un numero finito di interi, si potrebbe come minimo aggiungere la somma degli ultimi due.

Qui trovate i numeri di Ulam fino a 107 (5.6 MByte)

 

La tabella seguente mostra il numero di termini inferiori a 10n, per n fino a 7.

n

Numero di termini inferiori a 10n

1

6

2

26

3

125

4

827

5

7584

6

74083

7

740368

8

7399353

La densità sembra decrescere, ma non è chiaro se, come supponeva Ulam, si annulli o tenda a un limite finito, come l’evidenza numerica sembra suggerire.

 

La sequenza contiene numerosi primi; quelli inferiori a 1000 sono: 2, 3, 11, 13, 47, 53, 97, 131, 197, 241, 409, 431, 607, 673, 739, 751, 983, 991. Non è stato dimostrato che siano infiniti, ma è molto probabile.

Qui trovate i numeri di Ulam primi inferiori a 107.

 

L’unica terna di interi pari consecutivi appartenenti alla sequenza è (4, 6, 8)

L’unica progressione aritmetica di 3 o più termini consecutivi con 5 è (72, 77, 82, 87).

L’unica progressione aritmetica di 3 o più termini consecutivi con 7 è (131, 138, 145).

 

La sequenza presenta vari problemi tuttora aperti.

  • Esistono infinite coppie di interi consecutivi appartenenti alla sequenza? Si conoscono solo i primi quattro termini e la coppia (47, 48).

  • Esistono infiniti termini consecutivi con differenza 4? Si conoscono solo le coppie (53, 57) e (106, 110).

  • Esistono termini consecutivi con differenza 6? Non se ne conoscono, ma non sembra esserci un motivo per il quale non possano esistere.

  • Esistono infiniti numeri della sequenza che siano somma di due interi consecutivi della sequenza stessa? Si conoscono solo i casi 1 + 2 = 3 e 62 + 69 = 131.

  • Esistono infiniti numeri che, come 23, 25, 33 e 35, non possono essere espressi come somma di due numeri di Ulam differenti?

  • Vi sono intervalli arbitrariamente grandi tra numeri della sequenza? La massima differenza nota tra numeri di Ulam consecutivi è 631, tra 332250401 e 332251032.

Nel 2013 Jud McCranie calcolò tutti i termini della sequenza fino a 4293999992, senza trovare altri casi oltre a quelli riportati per i primi tre problemi.

Qui trovate i numeri fino a 106 che non possono essere espressi come somma di due numeri di Ulam differenti (1.2 MByte)

 

Se si modifica la definizione, aggiungendo ogni volta il massimo intero che possa essere espresso in un solo modo come somma di due distinti numeri precedenti si ottiene la sequenza dei numeri di Fibonacci.

 

La sequenza può essere generalizzata iniziando con numeri diversi da 1 e 2; anche per le generalizzazioni si pongono problemi analoghi.

S. Finch dimostrò nel 1991 che se una sequenza del genere contiene un numero finito di numeri pari, le differenze tra termini successivi a un certo punto si ripetono periodicamente.

James Schmerl e Eugene Spiegel dimostrarono nel 1994 che se si inizia con 2 e un numero dispari n maggiore di 3, la sequenza contiene esattamente due numeri pari, 2 e 2n + 2, e che le differenze diventano periodiche, con periodo non superiore a 2n, a partire da un termine non superiore a 2n + 2 – 2. In particolare, se n = 2m – 1 è un numero di Mersenne con m > 2, il periodo è 3m – 1 e inizia da un termine che vale 2(4m – 1).

J. Cassaigne e S. Finch, dimostrarono nel 1995 che se si inizia con 2 e un numero dispari superiore della forma 4k + 1, la sequenza contiene esattamente tre numeri pari.

La sequenza non contiene 7, perché 7 = 6 + 1 = 4 + 3, ma contiene 8, perché 6 + 2 è l’unico modo per ottenere 8 con interi appartenenti alla sequenza; contiene invece 4 che si può rappresentare come 3 + 1, mentre 2 + 2 non è una rappresentazione valida, perché i due numeri devono essere distinti.

La sequenza è infinita, perché se contenesse solo un numero finito di interi, si potrebbe come minimo aggiungere la somma degli ultimi due.

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