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Multiperfetti (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Numeri multiperfetti dispari

Non si conosce alcun multiperfetto dispari, ma, come nel caso dei perfetti dispari, sono state stabilite alcune proprietà che un multiperfetto dispari deve avere, se esiste:

  • se n è k-perfetto dispari, Limiti inferiore e superiore per il valore della somma dei reciproci dei fattori primi di n per k pari e Limiti inferiore e superiore per il valore della somma dei reciproci dei fattori primi di n per k dispari, dove la somma va calcolata sui fattori primi di n (Graeme L. Cohen, 1979);

  • deve essere maggiore di e350 ≈ 0.1007090887 • 10153 (Achim Flammenkamp, 2008);

  • il massimo fattore primo deve essere almeno 10000000 (Iannucci), il secondo almeno 1009 (Cohen e Hagis) e il terzo maggiore di 100;

  • un 3-perfetto deve essere un quadrato;

  • un 3-perfetto deve avere almeno 12 fattori primi distinti, che salgono a 32 se non è multiplo di 3;

  • un 4-perfetto deve avere almeno 23 fattori primi distinti;

  • un 5-perfetto deve avere almeno 56 fattori primi distinti;

  • un 6-perfetto deve avere almeno 142 fattori primi distinti;

  • un 7-perfetto deve avere almeno 373 fattori primi distinti.

 

Nel 2011 Shi-Chao e Chen Hao Luo dimostrarono che un 4-perfetto dispari deve essere di una delle seguenti forme:

  • p4r + 1m2, con p primo della forma 8k + 3 e m non multiplo di p;

  • p8r + 3m2, con p primo della forma 4k + 1 e m non multiplo di p;

  • p4m + 1q4m + 1m2, con p e q primi della forma 4k + 1 e m non multiplo di p o q.

 

M.M. Artuhov dimostrò nel 1973 che, fissati n e k, esiste un numero finito (che potrebbe anche essere zero) di interi k-perfetti dispari con n fattori primi distinti e che, fissato n, esiste un numero finito di interi k-perfetti dispari con n fattori primi distinti e k dispari.

 

Alcuni risultati recenti hanno escluso l’esistenza di numeri perfetti dispari di particolari forme. In particolare Kevin A. Broughan e Qizhi Zhou dimostrarono nel 2008 che per i numeri 2k-perfetti:

  • vale il teorema dimostrato da Eulero per i numeri perfetti dispari, ossia un numero 2k-perfetto dispari, deve essere della forma paq2, con p primo, q non multiplo di p, pa ≡ 1 mod 4 e MCD(p, a) = 1;

  • vale il teorema dimostrato nel 2006 da P. Starni per i numeri perfetti dispari, ossia non esistono numeri 2k-perfetti dispari della forma pa32bq2, con p primo della forma 12k + 1, a della forma 12m + 1 o 12m + 9 e q non multiplo di 3 o p.

 

Se 2r è la massima potenza di 2 che divide k, k è pari, 0 ≤ srEspressione di r – s come somma di interi non negativi per una qualche combinazione di interi non negativi an e bn, un numero k-perfetto dispari ha la forma Forma di un numero k-perfetto dispari, dove i vari primi pn non dividono q, gli esponenti en sono dispari, pn ≡ 2an + 1 – 1 mod 2an + 2 e en ≡ 2bn + 1 – 1 mod 2bn + 2 (Shi-Chao Chen e Hao Luo, 2011). In particolare, i numeri 4-perfetti dispari possono essere di una delle due seguenti forme:

  • paq2, con p primo che non divide q e p ≡ 3 mod 8, a ≡ 1 mod 4 oppure p ≡ 1 mod 4, a ≡ 3 mod 8;

  • parbq2, con p e r primi che non dividono q e prab ≡ 1 mod 4.

Vedi anche

Numeri perfetti.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Sorli, Ronald M.;  Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers, Sydney, tesi di laurea presso University of Technology, 2003.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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