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Multiperfetti (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Numeri multiperfetti dispari

Si chiamano “multiperfetti” i numeri naturali uguali a un multiplo della somma dei propri divisori, includendo 1 e il numero stesso, vale a dire i numeri n per i quali σ(n) = kn. Se k = 1, solo 1 soddisfa il requisito, se k = 2 abbiamo i numeri perfetti, se k = 3 i triperfetti o 3-perfetti ecc..

 

L’interesse per questi numeri nacque in Francia, nel XVII secolo. Mersenne, Cartesio, Fermat e altri matematici ingaggiarono una sorta di gara per trovarne di nuovi e di ordini sempre maggiori.

Mersenne fu probabilmente il primo a notare che 23 • 3 • 5 = 120 è 3-perfetto, sfidando nel 1631 Cartesio a trovarne un altro.

Fermat trovò 25 • 3 • 7 = 672 nel 1636, sfruttando la sua scoperta che 3 • 2n + 2p è 3-perfetto se Formula per p è primo. Questa regola fornisce però pochissimi 3-perfetti, perché è eccezionale già il fatto che p sia intero: per n minore di 200000 abbiamo solo i casi n = 1 e n = 3, che producono appunto 120 e 672.

André Jumeau nel 1638 scoprì il terzo 3-perfetto, 29 • 3 • 11 • 31 = 523776.

Cartesio evidentemente non gradì d’essere battuto e rispose a Mersenne, con 7 anni di ritardo, citando 213 • 3 • 11 • 43 • 127 = 1476304896 (saltando 459818240) e subito dopo annunciò la scoperta di sei 4-perfetti, il minimo dei quali è 25 • 33 • 5 • 7 = 30240, e un 5-perfetto (14182439040), stupendo Mersenne che dubitava che esistessero o che comunque si potessero trovare perché enormi.

Cartesio aveva trovato alcune semplici regole per ottenere 4-perfetti a partire da 3-perfetti:

  • se un intero n è 3-perfetto e non multiplo di 3, 3n è 4-perfetto;

  • se un intero n è 3-perfetto, multiplo di 3, ma non di 5 o 9, 45n è 4-perfetto;

  • se un intero n è 3-perfetto, multiplo di 3, ma non di 7, 9 o 13, 273n è 4-perfetto;

Queste regole sono estensioni di una semplice regola trovata da Mersenne: se p è primo e n è p-perfetto e non multiplo di p, pn è (p + 1)-perfetto.

Cartesio sembrava convinto dell’esistenza di infinite regole per generare k-perfetti a partire da (k – 1) perfetti, ma non pubblicò nulla in merito e un metodo generale non è stato trovato. Oltre alle regole scoperte da Cartesio e a quella di Mersenne, si conoscono le seguenti:

  • se n è 5-perfetto e non multiplo di 3, 3n è 4-perfetto;

  • se 3n è 4k-perfetto e n non è multiplo di 3, n è 3k-perfetto.

Fermat fu il primo a trovare un 6-perfetto (34111227434420791224041472000) nel 1643.

 

Le ricerche di Fermat, Cartesio, Frenicle de Bessy e altri portarono alla scoperta di una dozzina di multiperfetti, dei quali Mersenne teneva elenchi aggiornati, fornendo notizie a chiunque ne richiedesse.

Mersenne merita ampiamente un posto di rilievo nella storia della matematica per il grande impulso che diede alle ricerche sulla teoria dei numeri, non solo in Francia. Per tutta la vita continuò a stimolare ricerche, fungere da tramite (anche tra matematici rivali che non si sarebbero mai rivolti la parola), far circolare scoperte, proporre sfide e quesiti, aggiornare elenchi, contribuendo a volte personalmente.

Nel 1647 l’elenco comprendeva già ben 7 interi 7-perfetti, ma nessun 8-perfetto.

 

Nella seconda metà del XIX secolo e agli inizi del XX vi fu un rinnovato interesse per i multiperfetti: Lucas, Cunningham, Lehmer, Carmichael e altri dimostrarono alcune proprietà, completarono l’elenco dei multiperfetti con 3 e 4 fattori primi e di forme particolari e scoprirono un paio di centinaia di nuovi multiperfetti.

Carmichael in particolare scoprì il minimo 6-perfetto (154345556085770649600) nel 1907 e dimostrò che gli unici numeri multiperfetti con 4 fattori primi distinti sono 523776 = 29 • 3 • 11 • 31, 3-perfetto, e 30240 = 25 • 33 • 5 • 7, 4-perfetto.

 

Lehmer dimostrò nel 1900 che un 3-perfetto ha almeno 3 fattori primi distinti, un 4-perfetto 4, un 5-perfetto 6, un 6-perfetto 9 e un 7-perfetto 14. Un numero da 9-perfetto in su ha almeno 55 fattori primi distinti.

 

L’utilizzo di calcolatori sempre più potenti e veloci permise poi di estendere le ricerche a numeri sempre maggiori, con sempre più fattori primi, caratteristica determinante per avere un alto grado di “perfezione”.

Oggi si conoscono oltre 5300 interi multiperfetti, sino a 11-perfetti; non sembra esserci un limite al valore di k, ma al crescere di k i numeri aumentano in maniera impressionante: il minimo 8-perfetto ha 162 cifre, mentre l’unico 11-perfetto noto ne ha 1907.

 

La tabella seguente mostra il numero totale di numeri n-perfetti noti e i minimi n-perfetti noti.

n

Noti

Numeri

1

1

1

2

48

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128

3

6

120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160

4

36

30240, 32760, 2178540, 23569920, 45532800, 142990848, 1379454720, 43861478400, 66433720320, 153003540480, 403031236608, 704575228896, 181742883469056, 6088728021160320, 14942123276641920, 20158185857531904, 275502900594021408, 622286506811515392, 71065075104190073088, 203820700083634254643200, 63583020166602943198789632, 156036748944739017459105792, 1612532860097932682386735104, 3638193973609385308194865152, 24862223033124742964111030747136, 27255271098894367673389500334080, 61013466228291299819132525346816, 66886157385030640039109307924480, 630532357710420079508428362350592, 1422606063264005633932239197700096, 1928622300236318049928258133164032, 58234847911585743639191150258791907328, 142911996309794733796329290979468115968, 21571439852601139426707905057216142508032, 651350717502447739281012140234441171379683328, 1598455815964665104598224777343146075218771968

5

65

14182439040, 31998395520, 518666803200, 13661860101120, 30823866178560, 740344994887680, 796928461056000, 212517062615531520, 69357059049509038080, 87934476737668055040, 170206605192656148480, 1161492388333469337600, 1245087725796543283200, 1802582780370364661760, 1940351499647188992000, 4010059765937523916800, 27099073228001299660800, 143573364313605309726720, 352338107624535891640320, 34384125938411324962897920, 686498980761986918441287680, 2827987212986831882236723200, 72746008559331545135067955200, 115131961034430181728489308160, 2360137508360958913826987704320, 13361233986454282110797768294400, 32789312424503984621373515366400, 80538025176927765566622699356160, 217722929396007151091289843302400, 534305825433598205172314957414400, 6204968071598247960303205991055360, 45018882179216278209289221235015680, 13188979363639752997731839211623940096, 636279286816242760423054379770183680000 900809435698475541919724282581258076160, 5027991804154655285871782854518594600960, 17955160408011298190208066009641779200000, 69401922567934198070320735661287916175360, 5157152737616023231698245840143799191339008, 54530444405217553992377326508106948362108928, 133821156044600922812153118065015159487725568, 1966044603041307019027644125759103098242990080, 42274041475824304453686528060845522019324411248640, 4989680372093758991515359988337845750507257510078971904, 48949643430560436794021629524876790263031553747866371344635527168, 713287896776577122497355829377640852485760737912531339949234978816, 23361923592618741050590062043477131121314459866398752235742822400000, 38686788011121056578700900574076814908809553749239322473792016482304, 57713546223799971103662580404885081100965146124863318716687633612800, 44828737039702888991401809596138010582841359879253837507147347271876608, 68688966922031309945174465761834751373920047004215278394826366933532672, 34493877198688394697394823968609123706029600512135632542151228195491282944, 26858749569550544873070080560343416018763475799423745716289183150310797869056, 54765047586062826077147104232519533773657166644091409455081090503841475985408, 97718179472691973067025524016904045403285849149449049247269303180639070060544, 1058432493851272505433162341756539259435410113004034309326827312980982497280000, 13487790701729822904972967765042898578513187190976458260434978753935365910822912, 88551677944411242892294975443276201965497448498065529379599857155248300425740288, 6549096139588623356377131453027611949713035117549335458597551434741879668736000000, 413868115397556203624257790605260143631946430317607991092410053640572227750461440000, 1606376105545205480958192524197465863877796712608687336011572840200748052216415256576, 6506613515483667018449676450491160367057969293776979604120864113095261465533634052096, 34625463861934857866504118671022510711069778103433886737026425811008293190601250177024, 2560826592715906873441737348908544954304137097588021202695037291512948842433609728000000, 18863735795135429357926598339727034593434784361635488470523830097438618848151197459265574980259151872

6

245

154345556085770649600, 9186050031556349952000, 680489641226538823680000, 6205958672455589512937472000, 13297004660164711617331200000, 15229814702070563916152832000, 34111227434420791224041472000, 36669339708545656151565926400, 41254809330254618094796800000, 52693888533626064627302400000, 59023729003862626557345792000

7

516

141310897947438348259849402738485523264343544818565120000, 15502381086169113100250590183664788846018448946703031358518722560000, 318169247391962748189900043049059135703522232534529605673943040000000, 409782874235824708837450606126936069129304803154874054366103339008000

8

1134

8268099687077761372899241948635962893501943883292455548843932421413884476391773708366277840568053624227289196057256213348352000000000, 340675715134024449184477370892119079129518278115006683492084179910874978272020736852227469453766996103760650457418013492910227456000000000, 52151024957294586050968528215069757261565338100496364080222930783093645225640387610790305118644855066942013391005734099528290853002433003520000, 3432306265118674611277197065829308400435665500336169380702511246093607431587653705937500301459706340793144319547465206143357173678420787200000000

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Qui trovate i numeri 6-perfetti noti.

Qui trovate i numeri 7-perfetti noti.

Qui trovate i numeri 8-perfetti noti.

Qui trovate i numeri 9-perfetti noti (1.2 Mbyte).

Qui trovate i numeri 10-perfetti noti (1.2 Mbyte).

 

Si ritiene che tutti i numeri da 3-perfetti a 8-perfetti siano noti.

 

G.G. Dandapat, J.L. Hunsucker e Carl Pomerance dimostrarono nel 1975 che i numeri perfetti e 672 sono gli unici multiperfetti della forma pan, con p primo e n non multiplo di p, tali che σ(n) = pa e σ(pa) sia multiplo di n.

 

Tutti i numeri k-perfetti maggiori di 6 sono divisibili per il quadrato di un primo.

 

Gli unici numeri multiperfetti che siano fattoriali sono 1! = 1, 3! = 6 e 5! = 120 (U. Everling, 1996).

 

I numeri multiperfetti che siano numeri di Fibonacci sono in numero finito (Florian Luca, 2001).

 

L’unico numero multiperfetto che sia un coefficiente binomiale centrale è Coefficiente binomiale centrale C(4, 2) (Florian Luca e Juan Luis Varona, 2008).

 

L’unico numero multiperfetto che sia un numero di Catalan è 1 = C1 (Florian Luca e e Juan Luis Varona, 2008).

 

Florian Luca e Juan Luis Varona dimostrarono nel 2008 che sono in numero finito i multiperfetti che siano coefficienti binomiali disposti nel triangolo di Tartaglia lungo una linea non parallela ai bordi.

 

Nessun multiperfetto è un numero di Fermat (Florian Luca, 2000).

 

Se n è p-perfetto non multiplo di p con p primo, pn è (p + 1)-perfetto e viceversa; in paricolare, se n è 3-perfetto pari, ma non multiplo di 4, è anche il doppio di un numero perfetto dispari; dato che si ritiene improbabile che esistano numeri del genere, con ogni probabilità i numeri 3-perfetti sono tutti multipli di 4.

 

Se 3n è 4k-perfetto e n non è multiplo di 3, n è 3k-perfetto.

 

Nel 1979 Graeme L. Cohen dimostrò che:

  • l’unico numero 3-perfetto multiplo di 60 è 120;

  • l’unico numero 3-perfetto multiplo di 168 è 672;

  • se un numero 3-perfetto è multiplo di 3 e la massima potenza di 2 che lo divide è 2a, a non è della forma 4m + 3, tranne nel caso di 120;

  • se la massima potenza di 2 che divide un numero 3-perfetto è 2a, a non è della forma 6m + 5, tranne nel caso di 672;

  • se la massima potenza di 3 che divide un numero 3-perfetto è 3a, a non è della forma 4m + 3 o 6m + 5;

  • se un numero 3-perfetto è multiplo di 4 e la massima potenza di 5 che lo divide è 5a, a non è della forma 6m + 5.

 

Gli esperti ritengono valide le seguenti proprietà, ben lungi dall’essere dimostrate:

  • non esistono numeri k-perfetti dispari maggiori di 1;

  • per ogni k fissato maggiore di 2 i numeri k-perfetti sono in numero finito;

  • i numeri multiperfetti sono infiniti;

  • per ogni potenza di primo pk esiste almeno un numero multiperfetto divisibile per pk, ma non per potenze maggiori di p;

  • tutti i numeri 4-perfetti sono multipli di 3;

  • tutti i numeri k-perfetti con k maggiore di 4 sono divisibili per il quadrato di un primo dispari.

 

Nel 2010 Kevin A. Broughan e Qizhi Zhou dimostrarono i seguenti teoremi interessanti sui numeri 3-perfetti e 4-perfetti.

Se n è 3-perfetto non multiplo di 3, della forma 2ak, con a dispari e k non multiplo di quadrati, i fattori primi di k sono della forma 3r + 1.

Se n è 3-perfetto o 4-perfetto, della forma 2ak, con a dispari e k non multiplo di quadrati, n è divisibile per almeno un primo di Mersenne.

Se n è 4-perfetto della forma 2ak, con k prodotto di m fattori primi distinti:

  • a è pari o della forma 12r + 1;

  • se a è pari e n non è multiplo di 3, m è pari;

  • se a è della forma 12r + 1, n è multiplo di 3 e m è pari.

Se invece n è 4-perfetto pari della forma 2ak con k dispari, è divisibile per 3 se vale almeno una delle seguenti condizioni:

  • a è dispari;

  • uno dei fattori primi dispari nella scomposizione ha la forma 3r + 2 ed è elevato a un esponente dispari;

  • uno dei fattori primi dispari nella scomposizione ha la forma 3r + 1 ed è elevato a un esponente della forma 3s + 2.

Se n è multiplo di 3 con a dispari, vale almeno una delle ultime due condizioni.

 

Se n è k-perfetto pari, Limiti inferiore e superiore per il valore della somma dei reciproci dei fattori primi di n, dove la somma va calcolata sui fattori primi di n (Graeme L. Cohen, 1979).

 

Nel 2008 Achim Flammenkamp dimostrò che non esistono altri numeri multiperfetti, oltre a quelli noti, minori di e350 ≈ 0.1007090887 • 10153, aumentando quindi anche il minimo possibile valore per un multiperfetto dispari.

154345556085770649600, 9186050031556349952000, 680489641226538823680000, 6205958672455589512937472000, 13297004660164711617331200000, 15229814702070563916152832000, 34111227434420791224041472000, 36669339708545656151565926400, 41254809330254618094796800000, 52693888533626064627302400000, 59023729003862626557345792000,

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Vedi anche

Numeri perfetti.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Sorli, Ronald M.;  Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers, Sydney, tesi di laurea presso University of Technology, 2003.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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