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Ammirevoli (numeri)

Teoria dei numeri 

Nel 1960 J.M. Sachs definì  “ammirevoli” i numeri naturali ottenibili sommando tutti i divisori propri tranne uno, che va sottratto; per esempio, 12 è ammirevole, perché 12 = 1 + 3 + 4 + 6 – 2. In altri termini sono ammirevoli i numeri naturali n che abbiano un divisore d tale che σ(n) – 2d = 2n; sono quindi tutti numeri abbondanti, ma non è detto che un numero abbondante sia ammirevole.

 

In particolare sono ammirevoli i numeri triperfetti pari e i quadriperfetti (v. numeri multiperfetti).

 

Il minimo numero ammirevole dispari è 945.

Il minimo numero ammirevole non multiplo di un quadrato è 30; il minimo dispari è 80535.

Non esistono numeri ammirevoli che siano quadrati o il doppio di un quadrato, perché per tali numeri σ(n) è dispari e σ(n) – 2n non può essere il doppio di un divisore di n.

Il minimo numero ammirevole che non sia somma di un sottoinsieme dei suoi divisori, ossia non pseudoperfetto, è 70.

 

I numeri ammirevoli inferiori a 1000 sono: 12, 20, 24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 84, 88, 102, 104, 114, 120, 138, 140, 174, 186, 222, 224, 234, 246, 258, 270, 282, 308, 318, 354, 364, 366, 368, 402, 426, 438, 464, 474, 476, 498, 532, 534, 582, 606, 618, 642, 644, 650, 654, 672, 678, 762, 786, 812, 822, 834, 836, 868, 894, 906, 942, 945, 978, 992.

Qui trovate i numeri ammirevoli inferiori a 106.

 

Si conoscono solo due coppie di numeri ammirevoli consecutivi: (29691198404, 29691198405) e (478012798575, 478012798576); se ve ne sono altre, sono maggiori di 1012.

 

Nel 2006 Farideh Firoozbakht dimostrò che se 2nr – 1 è un numero primo dispari e m = 2n – 1(2nr – 1), allora σ(m) – 2m = r; pertanto con r = 2k, abbiamo che se 2n – 2k – 1 è un primo dispari, m = 2n – 1(2nr – 1) è ammirevole. Questo sfortunatamente non basta a dimostrare che i numeri ammirevoli siano infiniti, perché non è stato dimostrato che i numeri primi della forma 2n – 2k – 1 lo siano.

Si può però dimostrare che i numeri ammirevoli sono infiniti in un altro modo: se n = mp, con m perfetto e p primo che non divide m, n è ammirevole. Infatti, σ(n) – 2n = σ(m)σ(p) = 2m(p + 1) – 2n = 2p e p divide n.

In particolare se p è un numero primo maggiore di 3, 6p è ammirevole.

 

Sono anche infiniti i numeri abbondanti non ammirevoli, perché tutti i numeri abbondanti che siano quadrati o il doppio di un quadrato e tutti i numeri per i quali σ(n) > 4n (che sono infiniti, v. funzione σ) non sono ammirevoli.

 

Gli interi positivi non esprimibili come somma di numeri ammirevoli sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101, 103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 121, 123, 125, 127, 129, 131, 133, 135, 137, 139, 141, 143, 145, 147, 149, 151, 153, 155, 157, 159, 161, 163, 165, 167, 169, 171, 173, 175, 177, 179, 181, 183, 185, 187, 189, 191, 193, 195, 197, 199, 201, 203, 205, 207, 209, 211, 213, 215, 217, 219, 221, 223, 225, 227, 229, 231, 233, 235, 237, 239, 241, 243, 245, 247, 249, 251, 253, 255, 257, 259, 261, 263, 265, 267, 269, 271, 273, 275, 277, 279, 281, 283, 285, 287, 289, 291, 293, 295, 297, 299, 301, 303, 305, 307, 309, 311, 313, 315, 317, 319, 321, 323, 325, 327, 329, 331, 333, 335, 337, 339, 341, 343, 345, 347, 349, 351, 353, 355, 357, 359, 361, 363, 365, 367, 369, 371, 373, 375, 377, 379, 381, 383, 385, 387, 389, 391, 393, 395, 397, 399, 401, 403, 405, 407, 409, 411, 413, 415, 417, 419, 421, 423, 425, 427, 429, 431, 433, 435, 437, 439, 441, 443, 445, 447, 449, 451, 453, 455, 457, 459, 461, 463, 465, 467, 469, 471, 473, 475, 477, 479, 481, 483, 485, 487, 489, 491, 493, 495, 497, 499, 501, 503, 505, 507, 509, 511, 513, 515, 517, 519, 521, 523, 525, 527, 529, 531, 533, 535, 537, 539, 541, 543, 545, 547, 549, 551, 553, 555, 557, 559, 561, 563, 565, 567, 569, 571, 573, 575, 577, 579, 581, 583, 585, 587, 589, 591, 593, 595, 597, 599, 601, 603, 605, 607, 609, 611, 613, 615, 617, 619, 621, 623, 625, 627, 629, 631, 633, 635, 637, 639, 641, 643, 645, 647, 649, 651, 653, 655, 657, 659, 661, 663, 665, 667, 669, 671, 673, 675, 677, 679, 681, 683, 685, 687, 689, 691, 693, 695, 697, 699, 701, 703, 705, 707, 709, 711, 713, 715, 717, 719, 721, 723, 725, 727, 729, 731, 733, 735, 737, 739, 741, 743, 745, 747, 749, 751, 753, 755, 757, 759, 761, 763, 765, 767, 769, 771, 773, 775, 777, 779, 781, 783, 785, 787, 789, 791, 793, 795, 797, 799, 801, 803, 805, 807, 809, 811, 813, 815, 817, 819, 821, 823, 825, 827, 829, 831, 833, 835, 837, 839, 841, 843, 845, 847, 849, 851, 853, 855, 857, 859, 861, 863, 865, 867, 869, 871, 873, 875, 877, 879, 881, 883, 885, 887, 889, 891, 893, 895, 897, 899, 901, 903, 905, 907, 909, 911, 913, 915, 917, 919, 921, 923, 925, 927, 929, 931, 933, 935, 937, 939, 941, 943, 947, 949, 951, 953, 955, 959, 961, 963, 967, 971, 973, 979, 983, 991, 1003.

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