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Ammirevoli (numeri)

Teoria dei numeri 

Nel 1960 J.M. Sachs definì  “ammirevoli” i numeri naturali ottenibili sommando tutti i divisori propri tranne uno, che va sottratto; per esempio, 12 è ammirevole, perché 12 = 1 + 3 + 4 + 6 – 2. In altri termini sono ammirevoli i numeri naturali n che abbiano un divisore d tale che σ(n) – 2d = 2n; sono quindi tutti numeri abbondanti, ma non è detto che un numero abbondante sia ammirevole.

 

In particolare sono ammirevoli i numeri triperfetti pari e i quadriperfetti (v. numeri multiperfetti).

 

Il minimo numero ammirevole dispari è 945.

Il minimo numero ammirevole non multiplo di un quadrato è 30; il minimo dispari è 80535.

Non esistono numeri ammirevoli che siano quadrati o il doppio di un quadrato, perché per tali numeri σ(n) è dispari e σ(n) – 2n non può essere il doppio di un divisore di n.

Il minimo numero ammirevole che non sia somma di un sottoinsieme dei suoi divisori, ossia non pseudoperfetto, è 70.

 

I numeri ammirevoli inferiori a 1000 sono: 12, 20, 24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 84, 88, 102, 104, 114, 120, 138, 140, 174, 186, 222, 224, 234, 246, 258, 270, 282, 308, 318, 354, 364, 366, 368, 402, 426, 438, 464, 474, 476, 498, 532, 534, 582, 606, 618, 642, 644, 650, 654, 672, 678, 762, 786, 812, 822, 834, 836, 868, 894, 906, 942, 945, 978, 992.

Qui trovate i numeri ammirevoli inferiori a 106.

 

Nel 2006 Farideh Firoozbakht dimostrò che se 2nr – 1 è un primo dispari e m = 2n – 1(2nr – 1), allora σ(m) – 2m = r; pertanto con r = 2k, abbiamo che se 2n – 2k – 1 è un primo dispari, m = 2n – 1(2nr – 1) è ammirevole. Questo sfortunatamente non basta a dimostrare che i numeri ammirevoli siano infiniti, perché non è stato dimostrato che i numeri primi della forma 2n – 2k – 1 lo siano.

Si può però dimostrare che i numeri ammirevoli sono infiniti in un altro modo: se n = mp, con m perfetto e p primo che non divide m, n è ammirevole. Infatti, σ(n) – 2n = σ(m)σ(p) = 2m(p + 1) – 2n = 2p e p divide n.

 

Sono anche infiniti i numeri abbondanti non ammirevoli, perché tutti i numeri abbondanti che siano quadrati o il doppio di un quadrato e tutti i numeri per i quali σ(n) > 4n (che sono infiniti, v. funzione σ) non sono ammirevoli.

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