Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Fermat (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Fermat avanzò due congetture sui numeri primi, senza molta fortuna, perché furono entrambe dimostrate false.

 

La prima afferma che i numeri di Fermat sono primi. Fermat nel 1650 se ne disse sicuro, ma fu smentito da Eulero, che nel 1732 dimostrò che F5 è composto. E’ una delle congetture meno fortunate della storia, perché non è stato trovato alcun numero di Fermat primo, oltre ai primi cinque, da F0 a F4.

Nel 1979 James P. Jones dimostrò che sostituendo interi positivi alle 14 variabili nel polinomio (6g + 5)(1 – (bh + (a – 12)c + n(24a –145) – d)2 – (16b3h3(bh + 1)(a + 1)2 + 1 – m2)2 – (3g + 2 – b)2 – (2be + ebh – 1)2 – (k + bc)2 – ((a2 – 1)c2 + 1 – d2)2 – (4(a2 – 1)i2c4 + 1 – f2)2 – ((d + lf)2 – ((a + f2(f2a2))2 – 1)(b + 2jc)2 – 1)2), i valori positivi che si ottengono sono tutti e soli i numeri primi di Fermat, quindi la congettura è equivalente all’affermazione che il polinomio produce solo 5 valori positivi per qualsiasi combinazione di valori positivi delle variabili.

In seguito qualcuno tentò di correggere la congettura, supponendo che siano primi tutti i numeri della sequenza 2 + 1 = F0 = 3, 22 + 1 = F1 = 5, Numero di Fermat F(2)Numero di Fermat F(4) e così via; in effetti, questi numeri sono primi. Nel 1953 però Selfridge confutò la congettura mostrando che il termine successivo, Numero di Fermat F(16), è composto.

 

La seconda, che generalizza la prima, afferma che  i numeri di Fermat generalizzati, della forma Formula per i numeri di Fermat generalizzati con b pari sono primi o multipli di un numero di Fermat.

 

Fermat scrisse a Frenicle che riteneva vera l’affermazione, pur non potendola dimostrare, ma la congettura venne dimostrata falsa, trovando numerosi controesempi.

 

E’ probabile che Fermat intendesse che n debba essere maggiore di 1, perché altrimenti si trovano facilmente numerosissimi controesempi, di alcuni dei quali Fermat doveva essere a conoscenza; quelli per b fino a 100 sono:

  • 342 + 1 = 1157 = 13 • 89;

  • 442 + 1 = 1937 = 13 • 149;

  • 462 + 1 = 2117 = 29 • 73;

  • 502 + 1 = 2501 = 41 • 61;

  • 602 + 1 = 3601 = 13 • 277;

  • 702 + 1 = 4901 = 132 • 29;

  • 762 + 1 = 5777 = 53 • 109;

  • 802 + 1 = 6401 = 37 • 173;

  • 862 + 1 = 7397 = 13 • 569;

  • 962 + 1 = 9217 = 13 • 709;

  • 1002 + 1 = 10001 = 73 • 137.

 

Per n maggiore di 1 i controesempi sono comunissimi, ma ai tempi di Fermat erano più difficili da trovare; riporto quelli per b fino a 20 e n sino a 10 e la scomposizione di alcuni di essi:

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat,

  • Numero di Fermat generalizzato composto e non multiplo di numeri di Fermat.

 

Un’altra famosa affermazione di Fermat, ossia che non esistano soluzioni intere non banali all’equazione xn + yn = zn per n > 2, una volta spesso chiamata “congettura di Fermat” è oggi più comunemente nota come “ultimo teorema di Fermat”.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.