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Feit – Thompson (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura avanzata da Walter Feit (26/10/1930 –29/7/2004) e John G. Thompson nel 1962 afferma che non esistono due primi p e q tali che Somma di q potenze consecutive di p a partire da 1Somma di p potenze consecutive di q a partire da 1 abbiano un fattore comune.

 

Per stravagante che possa sembrare, quando venne proposta la congettura era di notevole importanza, perché avrebbe notevolmente semplificato la dimostrazione di un importante teorema di teoria dei gruppi: il teorema di Feit – Thompson, la cui pubblicazione nel 1963 richiese un intero numero di una rivista, che afferma che i gruppi finiti semplici di ordine composto hanno ordine pari (ovvero non esistono gruppi finiti semplici di ordine dispari composto), confermando la congettura avanzata da W. Burnside nel 1955. I due matematici però non furono in grado di dimostrare la congettura, per un semplice motivo: è falsa.

Nel 1971, infatti, Nelson M. Stephens trovò il controesempio p = 17, q = 3313, con fattore comune 2pq + 1 = 112643, unico caso con entrambi i primi minori di 400000.

 

La congettura è quindi stata riformulata in due versioni: la prima è che le eccezioni siano in numero finito, la seconda che non esistano primi distinti p e q tali che Somma di q potenze consecutive di p a partire da 1 divida Somma di p potenze consecutive di q a partire da 1.

 

Per quando riguarda la seconda versione, Kaoru Motose fece nel 2010 un primo piccolo passo verso la soluzione, dimostrando che se p = 3, q deve essere della forma 9k + 1, mentre se p = 5, q non può essere della forma 5k – 1, con k non multiplo di 5.

 

La congettura è simile alla congettura di Goormaghtigh.

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