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Erdös e Turán sulla rappresentazione di interi come somme (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Un insieme di numeri naturali S si dice “base di ordine h” se ogni intero abbastanza grande può essere espresso come somma di h elementi (non necessariamente distinti) di S.

Si può allora definire la funzione rS(n) come il numero di modi di rappresentare n come somma di h elementi di S.

 

Nel 1941 Paul Erdös e Pál Turán proposero due congetture sugli insiemi di ordine 2.

 

La prima asserisce che se S è un insieme di ordine 2, allora Limite superiore di rS(n) uguale a infinito, ossia se tutti gli interi possono essere rappresentati come somma di due elementi di S, il numero di modi di rappresentare alcuni interi cresce senza limite.

 

Sulla congettura non sono stati fatti progressi significativi, mentre qualcosa è stato dimostrato sulle caratteristiche che deve avere una base di ordine h.

Se S è una base di ordine h, si dimostra che Limite inferiore per il numero di interi tra 1 e n contenuti in S per n abbastanza grande, ovvero che l’insieme deve contenere almeno Radice k-esima di n tra i primi n numeri naturali.

 

Erdös dimostrò nel 1956 che esiste una base S di ordine 2 tale che c1lognrS(n) ≤ c2logn, per due costanti c1 e c2 e n abbastanza grande e quindi in questo caso rS(n) cresce come Radice quadrata di n. Questo spinse il grande matematico a proporre la congettura che Limite superiore di rS(n) / logn maggiore di zero.

 

Nel 1951 G.A. Dirac dimostrò che rS(n) non può essere costante per n abbastanza grande.

 

Nel 2006 Peter Borwein, Stephen Choi e Frank Chu dimostrarono che per ogni base S di ordine 2 rS(n) > 7 per n abbastanza grande.

 

La seconda congettura è che non esista una costante c tale che Somma di rS(k) per k da 1 a n  tenda a cn.

 

Nel 1956 lo stesso Erdös e W.H.J. Fuchs dimostrarono che non esiste una costante c tale che la somma tenda a cn più un termine che cresce meno di n^(1 / 4) / sqrt(log(n)). Questo significa che rS(n) non può essere approssimato molto bene da un valore medio c. Il teorema resta valido anche se gli elementi di S sono positivi, ma non necessariamente interi.

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