Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Erdös – Woods (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura afferma che esiste un intero positivo n, tale che ogni numero naturale k è unicamente determinato dall’elenco dei fattori primi dei numeri da k a k + n.

Per esempio n = 3 determina tutti gli interi sino a 100000, ovvero la lista dei fattori primi dei numeri da k a k + 3 individua unicamente k, se minore di 100000. Per esempio, i fattori primi degli interi da 50 a 53 sono: 2, 3, 5, 13, 17 e 53 e questa lista individua unicamente 50, perché è l’unico valore minore di 100000 che produca una lista come quella indicata.

Viceversa n = 2 non determina tutti gli interi, perché i fattori primi di 75 e 1275 sono gli stessi, come pure quelli di 76 e 1276. Per n = 2 esistono infiniti controesempi: 2m – 2 e 2m(2m – 2) hanno gli stessi divisori, come pure a = 2m – 2 + 1 e b = 2m(2m – 2) + 1, perché b = a2.

 

La congettura afferma che esiste qualche n tale che questa proprietà valga per qualsiasi intero k.

 

Discende dalla congettura “abc”, se quest’ultima è vera.

 

La congettura è stata estesa da T.N. Shorey al caso di due sequenze di interi non consecutivi, ma in progressione aritmetica. In questa versione se n esiste è maggiore di 3, perché vi sono vari controesempi per n = 3, come le progressioni aritmetiche (2, 3, 4) e (2, 9, 16) o (2, 81, 160) e (8, 9, 10).

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