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Erdös e Straus (congettura di) (I)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura formulata da Paul Erdös e Ernst G. Straus nel 1948 afferma che ogni frazione con numeratore 4 si può rappresentare come somma di tre frazioni egizie, ossia che per qualsiasi valore di n esistono soluzioni intere positive dell’equazione 4 / n come somma di tre frazioni egizie.

E’ evidente che 4 frazioni sono sufficienti; il problema è se ne bastino 3.

 

La verifica può essere limitata a denominatori che sono numeri primi, perché se 4 / p come somma di tre frazioni egizie, allora 4 / pq come somma di tre frazioni egizie.

 

A. Swett verificò nel 1999 la validità della congettura per n fino a 1014.

 

Se n = pq è multiplo di un primo della forma p = 3m + 2, tre termini bastano: 4 / n come somma di tre frazioni egizie.

Identità analoghe portano a stabilire che un eventuale controesempio deve avere solo fattori primi della forma 840m + k, per uno tra 6 diversi valori di k: 1, 121, 169, 289, 361, o 529.

 

Frazioni della forma 2 / n possono essere espresse come somma di due frazioni egizie, anche se si richiede che siano differenti: n deve essere dispari e se n = 2k – 1, 2 / n come somma di due frazioni egizie.

 

Frazioni della forma 3 / n possono essere espresse come somma di due frazioni egizie se e solo se n = pq è multiplo di un primo della forma p = 3m + 2: 3 / n come somma di tre frazioni egizie, altrimenti 3 termini sono necessari e sufficienti.

 

Nel 2000 Thomas R. Hagedorn dimostrò che ogni frazione con numeratore 3 può essere rappresentata come somma di esattamente 3 frazioni egizie distinte.

 

La congettura fu estesa nel 1956 da Wacław Franciszek Sierpiński a frazioni con numeratore 5; Bonnie M. Stewart confermò la congettura per tutti i denominatori sino a 1057438801.

 

Nel 1970 Andrzej Schinzel estese la congettura a frazioni con numeratore qualsiasi, con un numero finito di eccezioni per ogni numeratore. In questa versione è stata dimostrata per tutti i denominatori non della forma 278460k + 1 e verificata sin oltre un miliardo.

 

Si conoscono frazioni che richiedono 6 addendi, ma nessuna che ne richieda 7.

Vedi anche

Frazioni egizie.

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