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Palindioni (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Pickover battezzò “palindioni” i numeri naturali con più divisori palindromi dei numeri inferiori.

 

La tabella seguente riporta i primi palindioni.

n

d(n)

Numero di divisori palindromi

1

1

1

2

2

2

4

3

3

6

4

4

12

6

5

24

8

6

66

8

8

132

12

10

264

16

12

792

24

14

1848

32

15

2772

26

16

5544

48

19

13332

24

20

14652

36

21

24024

64

22

26664

32

24

72072

96

27

79992

48

28

186648

64

29

205128

96

30

264264

96

33

559944

96

37

792792

144

39

1333332

144

43

2666664

192

50

7279272

192

52

7999992

256

54

13333320

384

57

14666652

216

59

26690664

192

61

29333304

288

68

80071992

288

72

134666532

288

80

 

Jason Earls calcolò nel 2004 la sequenza sino a 2666664 e Mark Granson la estese nello stesso anno sino a 134666532.

 

Esaminando la sequenza si nota che nessuno è multiplo di 5 e che a partire da 132 sono tutti multipli di 11 e 12. Le due proprietà sono ragionevoli e in un certo senso prevedibili: un fattore 5 costringerebbe a evitare i divisori pari, per non avere multipli terminanti in zero (e quindi non palindromi), mentre piccoli divisori palindromi, come 4 e 11, rendono più facile la presenza di un gran numero di divisori palindromi. Ci si aspetterebbe tuttavia che una proprietà analoga valga anche per 7 e 9, ma 186684 non è multiplo di 7 e26690664 non è multiplo di 9.

Nessuno ha ancora compiuto alcun progresso nel dimostrare che tali proprietà debbano valere sempre.

 

I numeri della forma Formula che genera numeri con molti divisori palindromi, ossia 2(6)12n – 14, e i loro multipli per alcuni interi, in particolar modo 11, hanno un gran numero di divisori palindromi e probabilmente alcuni di essi sono palindioni. Per esempio:

  • per n = 1 abbiamo 768 divisori, 133 dei quali palindromi;

  • per n = 2 abbiamo 6144 divisori, 426 dei quali palindromi;

  • per n = 3 abbiamo 16384 divisori, 674 dei quali palindromi;

  • per n = 4 abbiamo 49125 divisori, 1297 dei quali palindromi.

Bibliografia

  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.

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