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Plastica (costante)

Algebra  Sequenze 

Nel 1928 l’architetto e monaco benedettino olandese Dom Hans van der Laan (Leiden, Olanda, 29/12/1904 – Mamelis, 19/8/1991) chiamò “costante plastica”, per contrapposizione alla costante aurea, il limite P al quale tende il rapporto tra due numeri di Padovan o di Perrin consecutivi.

Il nome deriva non da una sostanza, ma dall’uso che van der Laan ne fece nei suoi progetti, a seguito di studi sulla percezione umana.

 

La costante fu studiata per la prima volta nel 1924 dal matematico francese Gérard Cordonnier (Bailleul, Francia, 7/4/1907 – Lhez, Francia, 12/7/1977).

 

Il suo valore è radice positiva dell’equazione x3x – 1 = 0, vale a dire Formula per la definizione della costante plastica; è pertanto un numero algebrico di terzo grado.

Qui trovate le prime 1001 cifre decimali della costante plastica.

 

La costante è anche uguale a Formula per il calcolo della costante plastica e al limite del radicale continuo Radicale continuo uguale alla costante plastica quando il numero di radici tende a infinito.

 

La costante soddisfa le relazioni P + 1 = P3 e P – 1 = P–4, quindi è uno dei due numeri morfici.

 

Le potenze della costante plastica sono legate ai numeri di Padovan e di Perrin: Formula che lega le potenze della costante plastica ai numeri di Padovan e di Perrin, per n > 3, dove Pn e Pn sono rispettivamente l’n-esimo numero di Padovan e l’n-esimo numero di Perrin.

 

La costante plastica è il primo numero di Pisot – Vijayaraghavan.

 

Al crescere di n, Parte frazionaria di P^n, ovvero la parte frazionaria di Pn, si avvicina a 0 o 1, a seconda dell’esponente. Per esempio, P27369 differisce dall’intero più vicino per meno di 1.18463 • 10–1671 (M. Trott, 2004).

 

Una frazione continua legata alla costante è: Frazione continua legata alla costante plastica, dove Formula per la definizione di q (per una frazione continua simile v. costante di tribonacci).

 

Anche la costante plastica compare in serie convergenti a π: Serie convergente a π che coinvolge la costante plastica.

 

Una curiosa approssimazione è data da Approssimazione della costante plastica (12 cifre decimali corrette).

 

Alle voci espansione di Lehmerfrazioni continue e frazioni continue centrate si trovano ottime approssimazioni della costante.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.

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