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I numeri di Padovan sono i numeri interi appartenenti alla sequenza di Padovan, definita come: P0 = P1 = P2 = 1 e Pn = Pn – 2 + Pn – 3. La ricorrenza è uguale a quella che definisce i numeri di Perrin, ma i termini iniziali sono differenti.

La definizione può essere estesa a indici negativi tramite la formula P–n = P3 – nP1 – n.

 

La sequenza prende il nome dall’architetto inglese Richard Padovan, che però nel 1994, in un saggio dal titolo Dom. Hans van der Laan: Modern Primitive, ne attribuisce la scoperta all’architetto olandese Hans van der Laan (1904 – 1991).

 

Come nel caso dei numeri di Perrin, il rapporto tra termini consecutivi tende alla costante plastica.

I numeri di Padovan Pn possono essere ricavati dai numeri di Perrin e viceversa: Perrinn = Pn + 1 + Pn – 10.

 

Pn è l’intero più vicino a Formula per il calcolo dei numeri di Padovan, dove P è la costante plastica e s è l’unica radice reale dell’equazione x3 – 2x2 + 23x – 23, pari a circa 1.0453567933.

 

Alcune formule per il calcolo dei termini della sequenza:

Pn = Pn – 1 + Pn – 5, per n > 4;

Formula per il calcolo dei numeri di Padovan, dove r1, r2 e r3 sono le soluzioni (complesse) dell’equazione x3 + x2 – 1 = 0 e valgono circa –0.8774388331 + 0.7448617666i, –0.8774388331 – 0.7448617666i e 0.7548776662;

Formula per il calcolo dei numeri di Padovan o Formula per il calcolo dei numeri di Padovan, dove r1, r2 e r3 sono le soluzioni (complesse) dell’equazione x3x – 1 = 0 e valgono circa –0.6623589786 + 0.5622795121i, –0.6623589786 – 0.5622795121i e 1.3247179572;

Formula per il calcolo dei numeri di Padovan, ovvero Formula per il calcolo dei numeri di Padovan, dove la somma va calcolata su tutte le combinazioni di interi m e k non negativi, tali che 2m + k = n e mk.

 

Alcune somme che coinvolgono numeri di Padovan:

Somma che coinvolge i numeri di Padovan;

Somma che coinvolge i numeri di Padovan;

Somma che coinvolge i numeri di Padovan;

Somma che coinvolge i numeri di Padovan;

Somma che coinvolge i numeri di Padovan;

Somma che coinvolge i numeri di Padovan;

Somma che coinvolge i numeri di Padovan;

Somma che coinvolge i numeri di Padovan;

Somma che coinvolge i numeri di Padovan;

Somma che coinvolge i numeri di Padovan;

Somma che coinvolge i numeri di Padovan;

Somma che coinvolge i numeri di Padovan, per x maggiore in valore assoluto della costante plastica e in particolare Somma che coinvolge i numeri di Padovan e Somma che coinvolge i numeri di Padovan.

 

Altre formule che coinvolgono numeri di Padovan:

Pn = Pn +3Pn – 1, per n > 4;

Formula che coinvolge i numeri di Padovan;

Formula che coinvolge i numeri di Padovan.

 

La tabella seguente riporta i primi numeri di Padovan con indici positivi e negativi.

n

Pn

Pn

0

1

1

1

1

0

2

1

1

3

2

0

4

2

0

5

3

1

6

4

–1

7

5

1

8

7

0

9

9

–1

10

12

2

11

16

–2

12

21

1

13

28

1

14

37

–3

15

49

4

16

65

–3

17

86

0

18

114

4

19

151

–7

20

200

7

 

La sequenza contiene alcuni numeri primi; i pochi noti corrispondono agli indici: 3, 4, 5, 7, 8, 14, 19, 30, 37, 84, 128, 469, 666, 1262, 1573, 2003, 2210, 2289, 4163, 5553, 6567, 8561, 11230, 18737, 35834, 44259, 536485 (E.W. Weisstein, 2009), 727734 (E.W. Weisstein, 2011). I numeri primi corrispondenti ai primi indici sono: 2, 3, 5, 7, 37, 151, 3329, 23833, 13091204281, 3093215881333057, 1363005552434666078217421284621279933627102780881053358473, 1558877695141608507751098941899265975115403618621811951868598809164180630185566719.

 

Gli unici quadrati noti nella sequenza sono 1, 4, 9, 16 e 49; se ve ne sono altri, hanno indice superiore al milione. Ritengo probabile che, come nelle sequenze di Fibonacci e Lucas, siano in numero finito, ma che io sappia non è stato dimostrato.

 

La funzione generatrice è: Funzione generatrice dei numeri di Padovan.

 

Come nel caso dei numeri di Fibonacci e Perrin, anche i numeri di Padovan possono essere ricavati dalle potenze di una matrice: data la matrice Matrice Q, allora Formula per le potenze della matrice Q; per esempio, Esempio di calcolo dei numeri di Padovan tramite potenze della matrice Q.

 

Alcune occorrenze in matematica combinatoria:

  • Pn è il numero di composizioni di n + 2 con termini uguali a 2 o 3 (per esempio, 10 si scompone in P8 = 7 modi come somma di 2 e 3: 10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 3 + 3 + 2 + 2 = 3 + 2 + 3 + 2 = 3 + 2 + 2 + 3 = 2 + 3 + 3 + 2 = 2 + 3 + 2 + 3 = 2 + 2 + 3 + 3);

  • Pn è il numero di composizioni di n + 4 con interi della forma 3m + 2 (per esempio, 10 si scompone in P6 = 4 modi come somma di interi della forma 3m + 2: 10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 + 5 = 2 + 8 = 8 + 2);

  • Pn è il numero di composizioni di n + 5 con interi dispari maggiori di 1 (per esempio, 10 si scompone in P5 = 3 modi come somma di interi dispari maggiori di 1: 10 = 7 + 3 = 5 + 5 = 3 + 7);

  • P2n è il numero di composizioni di n + 1 con interi diversi da 2 (per esempio, 5 si scompone in P8 = 7 modi come somma di interi diversi da 2: 5 = 5 = 4 + 1 = 1 + 4 = 3 + 1 + 1 = 1 + 3 + 1 = 1 + 1 + 3 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1);

  • Pn è il numero di composizioni palindrome di n con interi diversi da 2 (per esempio, ci sono P7 = 5 composizioni palindrome di 7 con interi diversi da 2: 7 = 7 = 1 + 5 + 1 = 3 + 1 + 3 = 1 + 1 + 3 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).

 

La figura seguente come una spirale di triangoli equilateri, con lati aventi lunghezze uguali a numeri di Padovan, che costituisce anche una prova grafica dell’identità Pn = Pn – 1 + Pn – 5, per n > 4.

 

Spirale che illustra i numeri di Padovan

 

Ogni triangolo ha un lato in comune con due triangoli precedenti e i vertici via via aggiunti si trovano su una spirale logaritmica, analoga a quella determinata dalla suddivisione ripetuta di un rettangolo aureo (v. φ).

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Stewart, Ian;  Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Basic Books, 2009.

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