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p-adici (numeri)

Algebra  Teoria dei numeri 

Gli interi p-adici sono una generalizzazione degli interi, ciascuno dei quali viene sostituito da una sequenza infinita di interi, presi modulo le potenze di un primo. Più precisamente, fissato un primo p, un intero p-adico è una sequenza di numeri ak, tali che per ogni m < k, amak mod pm. Per esempio, per p = 5 un siffatto intero è (3, 8, 58, 183, 2683, ...); notate che tutti i numeri della sequenza sono congruenti a 3 modulo 5, dal secondo in poi sono congruenti a 8 modulo 52 = 25, dal terzo in poi sono congruenti a 58 modulo 53 = 125 ecc..

 

Furono descritti per la prima volta dal matematico tedesco Kurt Hensel (Königsberg, 29/12/1861 – 1/6/1941) nel 1897.

 

Tra questi interi si definiscono le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione, eseguendo l’operazione elemento per elemento e prendendo il risultato modulo le potenze di p. Per esempio, sempre per p = 5, (3, 8, 58, 183, 2683, ...) + (2, 12, 62, 62, 687, ...) = (3 + 2 mod 5, 8 + 12 mod 52, 58 + 52 mod 53, 183 + 62 mod 54, 2683 + 687 mod 55, ...) = (0, 20, 120, 245, 3370, ...).

Gli interi p-adici formano quindi un anello, comunemente indicato con Zp, per analogia con l’anello degli interi Z.

 

Gli interi p-adici non sono numerabili e hanno la cardinalità del continuo.

 

Si possono poi definire numeri p-adici più generali come frazioni con numeratore e denominatore che sono interi p-adici, ottenendo un campo comunemente indicato con Qp, per analogia con il campo dei razionali Q.

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