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Selfridge (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

John Lewis Selfridge (Ketchikan, Alaska, USA, 17/2/1927 – DeKalb, Illinois, USA, 31/10/2010) propose alcune interessanti congetture sulla teoria dei numeri; riporto le più importanti.

 

Se n > k2, il minimo fattore primo di Coefficiente binomiale C(n, k) non supera il massimo tra n / k e 17, tranne nel caso di Coefficiente binomiale C(62, 6), che ha come minimo fattore primo 19.

La congettura afferma quindi che, a parte quell’unica eccezione, non esistono coefficienti binomiali eccezionali per n > k2.

E’ una forma più debole della congettura di Erdös, Lacampagne e Selfridge.

 

ω(22n + 1)non è una funzione non decrescente di n, vale a dire che il numero di fattori primi distinti dei numeri di Fermat Fn può talvolta diminuire al crescere di n.

L’eventuale esistenza di un numero di Fermat primo oltre a quelli noti confermerebbe la congettura, come pure la scomposizione completa di F14 (il candidato più probabile), se avesse meno di 6 fattori.

 

Se p è della forma 5k + 2 o 5k + 3, 2p – 1 ≡ 1 mod p e Fp + 1 ≡ 0 mod p, dove Fn è l’n-esimo numero di Fibonacci, p è primo.

Se fosse dimostrata, permetterebbe di stabilire se un intero è primo in modo efficientissimo, almeno per una buona parte degli interi, perché il numero di operazioni necessarie per verificare le due congruenze è proporzionale a logp.

La congettura si può anche enunciare dicendo che non esistono interi della forma 5k + 2 o 5k + 3 che siano numeri di Poulet e pseudoprimi di Fibonacci; la congettura è stata verificata fino a 7964000701, sfruttando gli elenchi di tali numeri.

La congettura è alquanto dubbia, perché non vale quella analoga per i numeri p della forma 5k + 1 e 5k + 4. Per essi, infatti, se 2p – 1 ≡ 1 mod p e Fp – 1 ≡ 0 mod p, non è detto che p sia primo; il minimo controesempio della forma 5k + 1 è 6601 = 7 • 23 • 41 e il minimo della forma 5k + 4 è 30889 = 17 • 23 • 79.

I controesempi minori di 106 sono: 6601, 13981, 30889, 68101, 219781, 252601, 332949, 399001, 512461, 642001, 721801, 722261, 741751, 852841, 873181.

Qui trovate i controesempi fino a 7964000701.

 

Esistono infiniti primi pn tali che 2pn < pnk + pn + k, per tutti gli interi positivi k minori di n, ossia esistono infiniti primi maggiori della media aritmetica tra il k-esimo primo precedente e il k-esimo successivo, per tutti i possibili valori di k. La congettura implicherebbe l’esistenza di infiniti primi aritmeticamente deboli.

 

Esistono infiniti primi pn, tali che p(n)^2 > p(n – k) * p(n + k), per tutti gli interi positivi k minori di n, ossia esistono infiniti primi maggiori della media geometrica tra il k-esimo primo precedente e il k-esimo successivo, per tutti i possibili valori di k, detti “primi buoni”.

La congettura fu dimostrata vera da Carl Pomerance nel 1979 e implica l’esistenza di infiniti primi non geometricamente deboli .

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