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Hlawka (costante di)

Analisi  Geometria 

La spirale di Teodoro, così chiamata perché tracciata per la prima volta da Teodoro di Cirene (V secolo a.C.) si disegna tracciando un triangolo equilatero isoscele con cateti unitari e utilizzando poi l’ipotenusa dell’ultimo triangolo disegnato come cateto del successivo, l’altro cateto restando unitario, come mostra la figura seguente.

 

Parte della spirale di Teodoro

 

L’n-esimo triangolo ha cateti 1 e Lunghezza del cateto del triangolo e l’angolo che coincide col centro della spirale uguale a Angolo del triangolo che coincide col centro della spirale.

 

Sembra che Teodoro si servì di questa costruzione per illustrare la sua dimostrazione che sono irrazionali le radici quadrate degli interi da 3 a 17 che non siano quadrati (l’irrazionalità della radice quadrata di 2 era già nota).

Alcuni storici avanzano addirittura l’ipotesi che si sia fermato a 17, perché andando oltre i triangoli della spirale avrebbero iniziato a sovrapporsi, come appare nella figura. Non si vede del resto altro motivo plausibile per arrestarsi immediatamente dopo un quadrato, con un numero che allora non rivestiva alcun significato particolare.

 

Proseguendo la costruzione, si compiono via via vari giri intorno al centro della spirale; nel 1958 Erich Teuffel dimostrò che non ci sono due ipotenuse che si sovrappongano e che la retta che contiene uno dei cateti unitari non contiene mai uno degli altri vertici dei triangoli.

 

La somma degli angoli dei primi n triangoli tende a Limite cui tende la somma degli angoli dei primi n triangoli e più precisamente Limite cui tende la somma degli angoli dei primi n triangoli meno il doppio della radice quadrata di n, dove la costante c si chiama “costante di Hlawka”, in onore di Edumd Hlawka (Bruck an der Mur, Austria, 5/11/1916 – 19/2/2009) e vale circa –2.1577829967.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante.

 

Alle voci espansione di Lehmerfrazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della costante.

Nel 1993 P.J. Davis dimostrò che la curva di equazione parametrica Equazione della curva che contiene tutti i vertici dei triangoli contiene tutti i vertici dei triangoli (nel piano complesso, prendendo il centro della spirale come origine) e costituisce l’unica curva continua con tutte le derivate che interpoli i vertici, all’incirca come la funzione Γ interpola i fattoriali. Per x = n intero il valore rappresenta la coordinata (complessa) del vertice più lontano dal centro dell’n-esimo triangolo.

Detlef Gronau dimostrò nel 2004 che la funzione è l’unica soluzione dell’equazione funzionale Equazione funzionale che ha la curva per soluzione, con condizione iniziale f(0) = 1 e con argomento e modulo monotoni, esattamente come la funzione Γ è l’unica soluzione dell’equazione funzionale Γ(x + 1) = xΓ(x) che soddisfi le stesse condizioni.

 

In coordinate polari la curva ha equazione Equazione della curva in coordinate polari.

Nel 1993 W. Gautschi dimostrò che la tangente nel punto x = 1 ha coefficiente angolare Coefficiente angolare della tangente nel punto x = 1, valore detto “costante di Teodoro”.

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