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Hilbert (numeri di)

Teoria dei numeri 

Nel 2000 D. Flannery e S. Flannery proposero di chiamare “numeri di Hilbert” i numeri naturali della forma 4k + 1.

 

I primi di Hilbert sono numeri di Hilbert che non sono prodotto di altri numeri di Hilbert maggiori di uno, quindi tutti i primi della forma 4k + 1 (detti anche “primi pitagorici”) e gli interi prodotto di due primi, non necessariamente distinti, della forma 4k + 3. I minimi primi di Hilbert composti sono 9 e 21.

 

I primi di Hilbert minori di 1000 sono: 5, 9, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 49, 53, 57, 61, 69, 73, 77, 81, 89, 93, 97, 101, 109, 113, 121, 129, 133, 137, 141, 149, 157, 161, 173, 177, 181, 193, 197, 201, 209, 213, 217, 229, 233, 237, 241, 249, 253, 257, 269, 277, 281, 293, 301, 309, 313, 317, 321, 329, 337, 341, 349, 353, 361, 373, 381, 389, 393, 397, 401, 409, 413, 417, 421, 433, 437, 449, 453, 457, 461, 469, 473, 489, 497, 501, 509, 517, 521, 529, 537, 541, 553, 557, 569, 573, 577, 581, 589, 593, 597, 601, 613, 617, 633, 641, 649, 653, 661, 669, 673, 677, 681, 701, 709, 713, 717, 721, 729, 733, 737, 749, 753, 757, 761, 769, 773, 781, 789, 797, 809, 813, 817, 821, 829, 849, 853, 857, 869, 877, 881, 889, 893, 913, 917, 921, 929, 933, 937, 941, 953, 961, 973, 977, 989, 993, 997.

 

I numeri di Hilbert costituiscono un esempio particolarmente semplice di campo chiuso rispetto ad addizione e moltiplicazione, ma con scomposizione in fattori primi non sempre unica.

Il minimo numero di Hilbert che abbia più di una scomposizione è 441 = 21 • 21 = 9 • 49; il minimo che non sia un quadrato è 693 = 9 • 77 = 21 • 33; il minimo non multiplo di un quadrato è 4389 = 21 • 209 = 33 • 133 = 57 • 77.

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