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Erdös sulle progressioni aritmetiche (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura proposta da Paul Erdös nel 1976 afferma che se  la somma dei reciproci di un insieme infinito di interi diverge, l’insieme contiene progressioni aritmetiche di lunghezza arbitraria.

 

Spesso è erroneamente chiamata “congettura di Erdös e Turán”, mentre è una una forma più forte di quella congettura.

 

E’ stata dimostrata vera nel caso particolare più interessante: i numeri primi contengono progressioni aritmetiche di lunghezza arbitraria (Brian Green e Terence Tao, 2004).

Nel caso generale invece non è stato neppure dimostrato che un insieme del genere contenga una progressione aritmetica di 3 termini.

 

Alcuni progressi sono stati fatti nella direzione di dimostrare la massima densità asintotica che può avere un insieme privo di progressioni aritmetiche di 3 interi ossia il massimo valore di a(n) / n, dove a(n) è il numero di elementi dell’insieme non superiori a n:

  • nel 1953 Roth dimostrò che non supera c / log(log(n)), per una costante c;

  • nel 1987 Heath-Brown dimostrò che non supera 1 / log(n)^c, per una costante c;

  • nel 1999 Bourgain dimostrò che non supera sqrt(log(log(n)) / log(n));

  • nel 2009 Bourgain dimostrò che non supera sqrt(log(log(n)) / log(n)^(1 / 3))^2;

  • nel 2015 Sanders dimostrò che non supera log(log(n))^5 / log(n).

Nella direzione opposta Brehend dimostrò nel 1946 che la densità può essere almeno 1 / e^(c * sqrt(log(n))).

In tutti questi casi le densità tendono a zero e la somma dei reciproci è infinita, ma per dimostrare la validità della congettura per tutte le successioni resta ancora molta strada da percorrere anche per le progressioni di soli tre termini.

 

Per progressioni più lunghe i risultati sono più deboli:

  • un insieme di densità almeno 1 / e^(c * sqrt(log(n))) contiene infinite progressioni aritmetiche 4 elementi (Brian Green e Terence Tao).

  • un insieme di densità almeno c / log(log(n))^(1 / 2^(2^(k + 9))) contiene infinite progressioni aritmetiche di lunghezza k.

 

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