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Keplero (congettura di)

Congetture  Geometria  Vari 

Il problema del migliore impacchettamento di sfere fu sollevato dai militari, alla ricerca del modo migliore di immagazzinare proiettili di cannone, soprattutto nel limitato spazio delle navi.

Sir Walter Raleigh (Hayes Barton, Inghilterra, 22/1/1552 o 1554, – Londra, 29/10/1618), nel preparare una spedizione verso la fine del XVI secolo, chiese al suo assistente Thomas Harriot (Oxford, circa 1560 – Londra, 2/7/1621) una formula per calcolare il numero di palle di cannone che possono formare una pila di dimensioni note.

Harriot risolse il problema, e, comprendendo le esigenze di Raleigh, cercò di calcolare il numero massimo di palle che potevano essere stivate in uno spazio noto; sviluppò tabelle che davano il numero di palle in contenitori di varie dimensioni, ma non riuscì a risolvere il problema generale dell’impacchettamento più denso possibile nello spazio e lo portò all’attenzione di Johannes Keplero (Weil der Stadt, Germania, 27/12/1571 – Regensburg, Germania, 15/9/1630).

 

Keplero propose nel 1611 la soluzione corretta del problema dell’impacchettamento: la disposizione più densa di sfere identiche si ottiene collocando sfere in strati a simmetria esagonale e sovrapponendoli, in modo che le sfere di uno strato si incastrino nelle cavità di quello sottostante.

Keplerò però non riusci a dimostrare che la sua soluzione fosse ottimale; per questo la correttezza della sua soluzione è chiamata “congettura di Keplero”.

 

Thomas Callister Hales affrontò il problema negli anni ’90 del secolo scorso. Considerò una rete intorno a una sfera centrale, con nodi formati dai punti di contatto con le altre sfere e archi che congiungono i nodi corrispondenti a sfere vicine tra loro, e si servì delle possibili reti risultanti per classificare le configurazioni e suddividere il suo piano d’attacco in 5 fasi:

  1. dimostrare che una rete costituita da soli triangoli dà disposizioni peggiori di quella di Keplero;

  2. dimostrare un criterio di punteggio per delle reti, in base al quale la configurazione migliore totalizza più punti;

  3. dimostrare che reti fatte di triangoli e quadrilateri totalizzano meno di 8 punti, tranne nel caso della disposizione di Keplero, che totalizza 8, e di un’altra configurazione di 12 sfere a contatto con una centrale, battezzata “la sporca dozzina”;

  4. dimostrare che tutte le reti contenenti una maglia con più di 4 lati totalizzano meno di 8 punti, con l’eccezione della sporca dozzina;

  5. dimostrare che la sporca dozzina totalizza meno di 8 punti.

 

Per la prima parte, Hales stabilì 35 disequazioni tra le dimensioni delle celle corrispondenti ai triangoli, completò la dimostrazione nel 1994 e stimò di impiegare un anno per ciascuna delle seguenti, terminando nel 1998. La pubblicazione del primo lavoro richiese varie revisioni e apparve solo nel 1997, contemporaneamente alla seconda parte, completata nel 1995.

Per la terza parte di nuovo Hales stabilì le caratteristiche che una rete di soli triangoli e quadrilateri avrebbe dovuto avere, trovando 52 disequazioni e 7 condizioni; in particolare una rete avrebbe dovuto comprendere almeno 8 triangoli e al massimo 6 quadrilateri. Con l’aiuto inevitabile di un calcolatore, catalogò le reti che soddisfacevano i requisiti, trovandone 1749 in tutto; di queste la maggior parte si rivelò riconducibile a problemi di programmazione lineare (cioè ricerca di massimi di una funzione, con vincoli sulle variabili espressi come disequazioni lineari), facilmente attaccabili con i calcolatori. Eliminata la soluzione di Keplero, le reti formate da soli triangoli e le reti immagini speculari di altre, rimanevano 19 configurazioni. Per queste dovette suddividere il problema in migliaia di sottoproblemi e ricorrere ad altri metodi.

Per la quarta fase il matematico americano utilizzò lo stesso approccio: 120 pagine di dimostrazioni gli permisero di stabilire condizioni che le reti con maglie di 5 o più lati avrebbero dovuto soddisfare, dopodichè il calcolo automatico lo aiutò a elencarle. Trovò in tutto 3345 reti, la maggior parte delle quali di nuovo riconducibile a problemi di programmazione lineare. Le 189 reti recalcitranti furono aggredite con ulteriori disequazioni, smontate in sottoproblemi e infine domate una alla volta con metodi ad hoc.

Le prime 4 fasi comportarono l’esame di 5093 reti, in gran parte trattate con metodi automatici, ma per circa un centinaio il limite superiore del punteggio fu stabilito manualmente.

Per attaccare la sporca dozzina, per la quale i metodi di Hales riuscivano solo a stabilire che aveva un punteggio inferiore a 8.156, il matematico americano si avvalse dell’aiuto di Samuel Lehi Pratt Ferguson. Ferguson esaminò varie relazioni tra il punteggio ottenibile e gli angoli dei vari elementi, giungendo infine a dimostrare che la configurazione poteva raggiungere al massimo un punteggio di 7.99961, terminando il suo lavoro nell’agosto 1997.

 

Il 16/9/1998 Hales presentò il risultato del suo lavoro durante un congresso ad Haifa (Israele), ma la verifica rigorosa della dimostrazione richiese anni: la dimostrazione completa (comprendente 250 pagine di testo e oltre 3 gigabyte di dati) apparve su Annals of Mathematics solo nel 2005.

Bibliografia

  • Cohn-Vossen, S.;  Hilbert, David;  Geometry and the Imagination, New York, AMS Chelsea Publishing, 1999 -

    Riedizione del libro originariamente pubblicato nel 1932.

  • Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici 6, Firenze, Sansoni, 1969 -

    Traduzione di Martin Gardner’s New Mathematical Diversions from Scientific American, New York, Simon and Schuster, 1966.

  • Szpiro, George G.;  Kepler’s Conjecture, Hoboken, John Wiley & Sons, 2003.

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