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Lander, Parkin e Selfridge (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L Selfridge  formularono nel 1966 la congettura che se tra interi positivi la somma di m potenze n-esime è uguale alla somma di k potenze n-esime differenti dalle prime, allora n non è maggiore di m + k.

Si tratta di una revisione della congettura di Eulero, che si riferiva al caso particolare m = 1 e asseriva che m + k > n.

 

Che m + k = n fosse possibile per m > 1 era già noto a Eulero, che aveva trovato la soluzione parametrica (a + b)4 + (cd)4 = (ab)4 + (c + d) 4, con:

a = n(m2 + n2)(–m4 + 18m2n2n4),

b = 2m(m6 + 10m4n2 + m2n4 + 4n6),

c = 2n(4m6 + m4n2 +10m2n4 + n6),

d = m(m2 + n2)(–m4 + 18m2n2n4),

per qualsiasi valore intero di m e n, che dà infinite soluzioni, ma non tutte. La soluzione minima, non ottenibile dalla formula, è 594 + 1584 = 1334 + 1344 (Eulero).

 

Si conoscono tuttavia ben pochi casi di somme con m + k = n; oltre ai controesempi alla congettura di Eulero abbiamo:

  • tre casi per le quinte potenze: 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 (Lander e Parkin, 1967), 555 + 31835 + 289695 + 852825 = 853595 (J. Frye, 2004) e 2205 + 141325 = 50275 + 62375 + 140685 (B. Scher, E. Seidl 1996).

  • una formula che dà infinite soluzioni per le per seste potenze con m = k = 3 (Subba Rao, 1934), la minima delle quali è 36 + 196 + 226 = 106 + 156 + 236;

  • due casi per le ottave potenze: 818 + 5398 + 9668 = 1588 + 3108 + 4818 + 7258 + 9548 (S. Chase) e 8618 + 19538 + 20128 + 31138 = 11288 + 25578 + 27678 + 28238 (Nuutti Kuosa, 2008).

 

Non si conoscono controesempi, ma, che io sappia, non è stato fatto alcun progresso verso la dimostrazione di questa congettura.

 

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