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Eulero (congettura di) (I)

Congetture  Teoria dei numeri 

Dall’antichità si sapeva che la somma di due quadrati può essere un quadrato, ma Eulero aveva dimostrato che la somma di due cubi non può essere un cubo (caso particolare dell’ultimo teorema di Fermat), mentre la somma di tre cubi può essere un cubo.

Già Fermat aveva dimostrato che la somma di due biquadrati non può essere un biquadrato ed Eulero aveva cercato invano tre biquadrati che sommati dessero un biquadrato, mentre sapeva che la somma di due biquadrati poteva essere uguale alla somma di altri due, avendo trovato la soluzione 594 + 1584 = 1334 + 1344. Ciò lo spinse a formulare la congettura che una somma di n-esime potenze di interi maggiori di zero non sia uguale a una n-esima potenza, se non ha almeno n addendi.

 

La congettura era plausibile e sembrava supportata dai dati sperimentali: nel 1948 M. Ward dimostrò che non esistono soluzioni intere dell’equazione x4 + y4 + w4 = z4 con z fino a 10000 e nel 1967 L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge aumentarono il limite a 100000.

 

La congettura fu smentita nel 1967 da L.J. Lander e T.R. Parkin, che trovarono un controesempio: 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445. L’aspetto buffo della scoperta è che avvenne per un errore: non ritenendo potesse esistere una soluzione con 4 quinte potenze, i due ricercatori avevano scritto un programma per un calcolatore, allo scopo di trovare soluzioni con 5, ma dimenticarono di escludere 0 dai numeri validi, quindi la macchina trovò di fatto una soluzione con 5 potenze, una delle quali era zero.

Jim Frye trovò un altro caso nel 2004: 853595 = 852825 + 289695 + 31835 + 555.

 

Nel 1988 Noam D. Elkies trovò un controesempio relativo ai biquadrati: 26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734 e trovò un metodo per ricavare infinite soluzioni. In seguito vennero scoperti altri casi del genere per i biquadrati, non ottenibili con la formula di Elkies e Roger Frye dimostrò nel 1988 che la soluzione minima è 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814.

Furono poi scoperti vari casi relativi alle seste potenze, il minimo dei quali è 1088056 = 940386 + 855126 + 812216 + 754206 + 658566 + 536766 + 171786 (Greg Childers).

 

L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L Selfridge proposero nel 1966 una versione modificata della congettura, che resta irrisolta (v. congettura di Lander, Parkin e Selfridge).

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