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Fermat (numeri di)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Scomposizione dei numeri di Fermat

I numeri di Fermat, così chiamati in onore di Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, 17/8/1601 – Castres, 12/1/1665), sono gli interi della forma Fn = 22n + 1.

 

I primi 5 sono primi e Fermat nel 1650 si disse sicuro che lo fossero tutti, pur ammettendo di non poterlo dimostrare. La congettura resse finché nel 1732 Eulero dimostrò che F5 = 4294967297 = 641 • 6700417 è composto. Da allora la congettura si è rivelata una delle meno fondate della storia, perché non è stato trovato alcun altro numero di Fermat primo!

In seguito qualcuno tentò di correggere la congettura, supponendo che fossero primi tutti i numeri della forma 2 + 1 = F0 = 3, 22 + 1 = F1 =5, 222 + 1 = F2 = 17, Numero di Fermat F(4) e così via; in effetti questi numeri sono primi. Nel 1953 però Selfridge confutò la congettura mostrando che il termine successivo Numero di Fermat F(16) è composto.

 

Formula che lega un numero di Fermat al prodotto dei precedenti, pertanto i numeri di Fermat sono tutti primi tra loro (teorema di Goldbach).

 

Somma dei reciproci dei numeri di Fermat è irrazionale (Solomon W. Golomb, 1963).

Se i numeri primi di Fermat sono solo quelli noti, la somma dei loro reciproci è Somma dei reciproci dei numeri primi di Fermat, che ha espansione in frazione continua [ 0; 1, 1, 2, 9, 1, 3, 5, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 7, 1, 31, 1, 2, 4, 5 ].

 

Se n è dispari, Fn + 2 è multiplo di 7, mentre se n è pari, Fn + 4 è multiplo di 7.

 

Un numero di Fermat composto è overpseudoprimo in base 2, quindi numero di super-Poulet, superpseudoprimo in base 2 e pseudoprimo forte in base 2; in particolare, 2Fn ≡ 2 mod Fn.

Cipolla dimostrò che il prodotto di un qualsiasi numero di numeri di Fermat consecutivi, a partire da F1, è uno pseudoprimo di Fermat in base 2.

Nel 1964 Rotkiewicz dimostrò che il prodotto di un qualsiasi insieme di numeri di Fermat, primi o composti, è uno pseudoprimo di Fermat.

 

Nessun numero di Fermat è quadrato, cubo o triangolare.

 

Nessun numero di Fermat è la somma di due primi, tranne F1 = 2 + 3 = 5.

 

Nessun numero di Fermat ha la forma anbn, con n dispari.

 

Nessun primo di Fermat è un primo di Wieferich.

 

Nessun numero di Fermat è perfetto o membro di una coppia di numeri amichevoli (Florian Luca, 2000).

 

Se la congettura “abc” è vera, i numeri di Fermat potenti sono in numero finito.

 

3 è radice primitiva di tutti i primi di Fermat.

 

Un numero di Fermat è divisibile per il quadrato di un numero primo solo se questo è un primo di Wieferich, e al momento non si conosce alcun esempio. Se è vera la congettura proposta da Andrzej Schinzel e Wacław Franciszek Sierpiński nel 1958, che esistono infiniti numeri di Fermat non divisibili per un quadrato, dato che i numeri di Fermat sono tutti primi tra loro, esisterebbero infiniti primi non di Wieferich. Questo non è un risultato sorprendente, visto che si conoscono solo due primi di Wieferich, ma comunque non si intravede neppure una possibile dimostrazione.

 

Nel 1979 James P. Jones dimostrò che sostituendo interi non negativi alle 14 variabili nel polinomio di grado 25 (6g + 5)(1 – (bh + (a – 12)c + n(24a –145) – d)2 – (16b3h3(bh + 1)(a + 1)2 + 1 – m2)2 – (3g + 2 – b)2 – (2be + ebh – 1)2 – (k + bc)2 – ((a2 – 1)c2 + 1 – d2)2 – (4(a2 – 1)i2c4 + 1 – f2)2 – ((d + lf)2 – ((a + f2(f2a2))2 – 1)(b + 2jc)2 – 1)2), i valori positivi che si ottengono sono tutti e soli i numeri primi di Fermat! Sfortunatamente sostituendo valori a caso alle lettere si ottengono praticamente sempre valori negativi, quindi questa scoperta non ci ha dato nessun nuovo primo di Fermat.

Le variabili possono essere ridotte a 7, ma al prezzo di portare il grado del polinomio a 905.

 

Sierpiński dimostrò nel 1958 che i numeri primi della forma nn + 1 sono solo i numeri di Fermat Fm, dove n = 2k e m = n2n. Dato che si conoscono solo 4 primi di Fermat, gli unici casi noti si hanno per n = 2 e n = 4, corrispondenti a 5 e 257.

 

Tranne F0 = 3 e F1 = 5, tutti i numeri di Fermat finiscono in 17, 37, 57 o 97 e quindi con la cifra 7; le ultime n cifre sono periodiche con periodo 4 • 5n – 2 per n > 1.

 

Gauss dimostrò il 30/3/1796 (a soli 18 anni!) che un poligono regolare può essere disegnato con riga e compasso se il numero di lati è il prodotto di una potenza di 2 (incluso 1), per primi di Fermat distinti. Nel 1937 Pierre-Laurent Wantzel dimostrò che questi sono gli unici poligoni regolari costruibili con riga e compasso (v. numeri costruibili).

Le costruzioni per triangolo e pentagono regolare erano note dall’antichità e tutti ritenevano che gli unici poligoni costruibili con riga e compasso fossero quelli con 3, 4, 5, e 15 lati, oltre a quelli con un numero di lati uguale a uno di questi per una potenza di due.

Inaspettatamente Gauss spianò la strada alla costruzione di un poligono regolare con 17 lati. La costruzione esplicita del 17-agono regolare fu pubblicata da Ulrich von Huguenin nel 1803 e semplificata da H.W. Richmond nel 1893.

Per i successivi due primi di Fermat era solo questione di pazienza: nel 1832 Friedrich Julius Richelot e Schwendenwein pubblicarono la costruzione del poligono con 257 lati e nel 1879 Johann Gustav Hermes consegnò all’università di Göttingen un voluminoso manoscritto, frutto di 10 anni di lavoro, che spiega come costruire un 65537-agono regolare con riga e compasso; il manoscritto è tuttora conservato nella biblioteca dell’università ed è probabilmente uno dei libri più ammirati, ma meno consultati, che siano mai stati scritti!

 

Nel 1826 Abel estese il teorema di Gauss alla lemniscata, dimostrando che la si può dividere in n archi di uguale lunghezza se e solo se n è il prodotto di una potenza di 2 per primi di Fermat distinti.

Bibliografia

  • Adler, Andrew;  Coury, John E.;  The Theory of Numbers: a Text and Source Book of Problems, Londra, Jones and Bartlett Publishers, 1995.
  • Devlin, Keith;  La lettera di Pascal, MIlano, Rizzoli, 2008.
  • Giblin, Peter;  Primes and Programming, Cambridge University Press, 1993.
  • Kuczma, E. Marcin;  International Mathematical Olympiads 1986 – 1999, Mathematical Association of America, 2003.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  Una via di fuga, Milano, Mondadori, 2011.
  • Stewart, Ian;  Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Basic Books, 2009.

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