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Erdös sui numeri primi (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Paul Erdös avanzò alcune congetture sui numeri primi, riporto le quattro più famose, tuttora irrisolte.

 

La prima, che risale al 1950, è che 4, 7, 15, 21, 45, 75 e 105 siano gli unici interi n tali che n – 2k sia primo per ogni k tale che n > 2k; Ovvero, sottraendo da questi numeri tutte le potenze di 2 inferiori, si ottengono sempre numeri primi. Per esempio, 105 – 2 = 193, 105 – 4 = 101, 105 – 8 = 97, 105 – 16 = 89, 105 – 32 = 73 e 105 – 64 = 41 sono primi.

Le ricerche sono state estese sino a 2120, senza trovare alcun altro intero con la stessa proprietà.

 

Se ne esiste un altro, dev’essere un multiplo dispari di 3 • 5 • 11 • 13 • 19 • 29 • 37 • 53 • 59 • 61 • 67 = 558873012475635 (Imran Ghory, 2000) e non deve essere multiplo di altri primi minori di 79 (Pavlos Ask).

 

La seconda è che esistano infiniti primi p tali che ogni numero pari minore di p – 2 può essere ottenuto come differenza tra due primi non superiori a p. Per esempio, nel caso di 23, 2 = 7 – 5, 4 = 7 – 3, 6 = 11 – 5, 8 = 19 – 11, 10 = 17 – 7, 12 = 19 – 7, 14 = 17 – 3, 16 = 19 – 3, 18 = 23 – 5 e 20 = 23 – 3 possono essere ottenuti come differenze di primi non superiori a 23.

La congettura implicherebbe tra l’altro che ogni numero pari sia differenza di due numeri primi.

 

La terza è che esistano infiniti primi a grappolo.

 

La quarta è che esistano infinite coppie di primi aritmeticamente deboli consecutivi.

Bibliografia

  • Wells, David;  Curious and interesting numbers, Penguin Books.

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