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Primi a grappolo

Teoria dei numeri 

Nel 1999 R. Blecksmith, P. Erdös e J.L. Selfridge definirono “primi a grappolo” (il termine inglese è “cluster prime”; io ho tentato di rendere l’idea in italiano) i primi dispari p tali che ogni numero naturale pari minore di p – 2 possa essere ottenuto come differenza tra primi non superiori a p. Per esempio, i numeri pari inferiori a 19 – 2 = 17 possono essere tutti ottenuti come differenza di primi non superiori a 19: 5 – 3 = 2, 7 – 3 = 4, 11 – 5 = 6, 11 – 3 = 8, 13 – 3 = 10, 17 – 5 = 12, 17 – 3 = 14, 19 – 3 = 16.

Non tutti i primi hanno questa proprietà: per esempio, 88 non può essere ottenuto in alcun modo come differenza di primi non superiori a 97.

 

I primi non a grappolo inferiori a 1000 sono: 97, 127, 149, 191, 211, 223, 227, 229, 251, 257, 263, 269, 293, 307, 331, 337, 347, 349, 367, 373, 379, 383, 397, 409, 419, 431, 457, 479, 487, 499, 521, 541, 547, 557, 563, 569, 587, 593, 599, 631, 641, 673, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 769, 787, 797, 809, 821, 839, 853, 877, 907, 911, 919, 929, 937, 967, 991 e 997.

 

Qui trovate i primi a grappolo inferiori a 107.

 

Sebbene i primi 23 primi dispari siano a grappolo, tali primi diventano progressivamente più rari: il sorpasso avviene a 2251, quando i numeri di primi a grappolo e non a grappolo sono uguali (167 di ciascun tipo); a partire dal primo successivo, 2267, i primi non a grappolo diventano più numerosi.

 

R. Blecksmith, P. Erdös e J.L. Selfridge dimostrarono nel 1999 che fissato un intero s, esiste un intero n0 tale che per n > n0 il numero πg(n) di primi a grappolo inferiori a n soddisfa Limite superiore per il numero di primi a grappolo minori di n e che la somma dei reciproci dei primi a grappolo è finita, come la somma dei reciproci dei primi gemelli.

Nel 2003 Christian Helsholtz dimostrò che πg(n) cresce meno velocemente di Limite superiore per il numero di primi a grappolo minori di n con k costante, come già supposto da Blecksmith, Erdös e Selfridge; Helsholtz dimostrò che si può prendere k = 1 / 60, dichiarandosi convinto che la costante si possa aumentare.

 

Mentre i primi non a grappolo sono quindi infiniti, non è noto se quelli a grappolo lo siano. Erdös propose la congettura che siano in numero infinito.

 

La tabella seguente riporta i primi a grappolo minori di 10n, per n fino a 13 (Ghristian G. Bower e T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Numero di primi a grappolo minori di 10n

1

3

2

23

3

99

4

420

5

1807

6

8287

7

40017

8

202208

9

1059807

10

5736717

11

31911465

12

182019293

13

1060723057

 

Bibliografia

  • Wells, David;  Curious and interesting numbers, Penguin Books.

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