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Ideali (numeri)

Algebra  Teoria dei numeri 

E. Kummer trovò una dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat, errata perché presupponeva l’unicità della scomposizione in fattori primi per interi algebrici della forma Forma di interi algebrici con scomposizione in fattori primi non unica, con a, b e q interi (e q positivo). Scoperto l’errore, restò ossessionato dal problema di tale non unicità e infine lo risolse, definendo dei nuovi fattori primi “ideali”, come il massimo comun divisore di coppie di interi della forma suddetta.

 

Più precisamente un ideale primo è definito come il massimo comun divisore tra due interi algebrici primi, mentre un numero ideale è il prodotto di ideali primi (quindi i numeri ideali includono gli interi algebrici e gli interi comuni).

Questi numeri ideali non esistono, nell’ambito dell’algebra usuale, ma estendendo con essi il campo degli interi algebrici, si ottiene si ottiene un campo nel quale valgono le normali regole algebriche per le quattro operazioni e la scomposizione in fattori primi è unica.

 

La scomposizione di 6 in primi della forma Forma di interi algebrici con scomposizione in fattori primi non unica non è unica, perché Due scomposizioni di 6 in fattori primi algebrici, ma definendo nuovi “numeri” come i massimi comuni divisori di coppie di interi algebrici, la scomposizione ridiventa unica: Scomposizione di 6 in fattori primi ideali, perché si può dimostrare che i quattro fattori non sono ulteriormente scomponibili e non esistono scomposizioni alternative in ideali primi.

 

Di fatto, i primi ideali sono definiti tramite i loro multipli. Mentre i primi ideali sono rappresentabili solo come massimi divisori comuni, i loro multipli possono essere interi in un campo complesso o anche interi comuni.

 

Un ideale è l’insieme dei multipli di massimi comuni divisori di numeri della forma Forma di interi algebrici; si dice “principale” se è un insieme di multipli di un ideale primo, “non principale” se è un insieme di multipli di numeri definibili solo come divisori comuni.

 

Il prodotto di due ideali è definito come l’insieme di tutte le somme di prodotti tra numeri appartenenti ai due ideali ed esiste una stretta corrispondenza tra prodotto di interi e prodotto di ideali. Per esempio, 10, 20 e 600 appartengono all’ideale ottenuto moltiplicando gli ideali di 2 e 5, perché tali numeri sono esprimibili come somma di prodotti tra multipli di 2 e multipli di 5.

Vedi anche

Interi algebrici.

Bibliografia

  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.

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