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Hayman – Korenblum (costante di)

Analisi 

Dato un numero reale p maggiore di zero, definiamo c(p) come il massimo reale minore di 1 tale che per ogni coppia di funzioni f e g, analitiche sul cerchio di raggio 1 centrato sull’origine, se |f(z)| ≤ |g(z)| per tutti i valori (complessi) di z all’interno di un cerchio di raggio c(p) centrato sull’origine, allora Disuguaglianza per gli integrali delle funzioni sul cerchio di raggio unitario (dove z = x + iy).

 

In altri termini, c(p) è il massimo raggio di un cerchio tale che se al suo interno il modulo di g è non minore di quello di f, possiamo affermare che l’integrale della potenza di esponente p del modulo di g sul cerchio unitario è non minore del corrispondente integrale riferito a f.

 

W.K. Hayman dimostrò nel 1999 che c(2) esiste e Limiti inferiore e superiore per la costante di Hayman – Korenblum, confermando una congettura di Boris Korenblum, che nel 1991, supponendo l’esistenza di c(2) aveva trovato il limite superiore.

Il valore c(2) si chiama “costante di Hayman – Korenblum”.

 

Vari matematici contribuirono in seguito a raffinare i limiti; i migliori oggi noti sono 0.25018 ≤ c(2) (Chunjie Wang, 2006) e c(2) ≤ 0.677905 (Chun-Yen Shen, 2007).

 

A. Hikkanen nel 1999 dimostrò che c(p) esiste sempre per p ≥ 1 e c(p) ≥ 0.15724; resta aperto il problema dell’esistenza di c(p) per 0 < p < 1.

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