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Harshad multipli (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

E. Bloem definì nel 2005 “numeri harshad multipli” i numeri harshad tali che divisi per la somma delle loro cifre diano un numero harshad, e continuando a dividere il numero ottenuto per la somma delle sue cifre danno sempre numeri harshad, sino a restare con un numero di una sola cifra. L’ordine di un numero harshad multiplo è il numero di passi necessari per arrivare a un numero di una sola cifra.

Per esempio, 6804 è un numero harshad in base 10; dividendolo per la somma delle cifre (18) dà 378, altro numero harshad, che diviso per la somma delle cifre (sempre 18) dà 21, di nuovo harshad, che diviso per la somma delle cifre (3) dà 7. Pertanto 6804 è un numero harshad multiplo di ordine 3 in base 10.

 

Bloem arrivò a dimostrare che 2016502858579884466176 è un numero harshad multiplo di ordine 12 in base 10.

 

Nel 2014 Hans Havermann e Ray Chandler dimostrarono che sono in tutto 15095, il massimo dei quali è un numero di 1434 cifre.

Quelli inferiori a 106 in base 10 sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 18, 21, 24, 27, 36, 42, 45, 48, 54, 63, 72, 81, 84, 108, 162, 216, 243, 324, 378, 405, 432, 486, 648, 756, 864, 972, 1296, 1458, 1944, 2916, 3402, 4374, 5832, 6804, 7290, 8748, 11664, 13122, 13608, 15552, 17496, 23328, 26244, 34992, 39366, 52488, 61236, 69984, 78732, 91854, 118098, 122472, 157464, 183708, 196830, 236196, 314928, 354294, 367416, 419904, 472392, 559872, 629856, 839808, 944784 (Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate i numeri harshad multipli sino a 1020, in base 10, con l’ordine tra parentesi (Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

I numeri della forma 1008 · 10n (ossia 1008 seguito da n zeri) sono “quasi” harshad multipli di ordine n + 2, sempre in base 10: dividendo 1008 • 10n per la somma delle sue cifre (9) si ottiene 112 • 10n, che diviso per la somma delle sue cifre dà 28 • 10n; a questo punto dividendo n volte per la somma delle cifre (10) si toglie uno zero alla volta, sino a restare con 28, che sfortunatamente è di due cifre e non è harshad.

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