Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Insoliti (numeri) (I)

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano “insoliti” i numeri naturali che non contengono zeri nella loro rappresentazione decimale e sono divisibili sia per la somma dei quadrati delle cifre, che il prodotto dei quadrati delle cifre.

 

Furono definiti da J.-M. De Konink e N. Doyon nel 2001 e devono il loro nome all’essere molto poco frequenti. I due matematici dimostrarono, infatti, che il numero di interi insoliti non maggiori di n per n abbastanza grande è maggiore di Limite inferiore asintotico per il numero di numeri insoliti non superiori a n e minore di n0.462, che non ne esistono tre consecutivi e che ve ne sono solo 195 minori di 1018, numero poi corretto a 196 da Giovanni Resta.

 

Sono infiniti, perché per ogni intero n e ogni divisore k di 10n – 1, un numero formato da k cifre 1 è insolito. Per esempio, 11 divide 102 – 1 = 99 e 11111111111 è insolito.

 

I numeri insoliti inferiori a 1012 sono: 111, 11112, 1122112, 111111111, 122121216, 1111112112, 1111211136, 1116122112, 1211162112, 11111113116, 11112122112, 11121114112, 11132111232, 11133122112, 11213111232, 11311322112, 12111213312, 21111311232, 31111221312, 32111111232, 111122111232, 111132122112, 111211322112, 111312122112, 112111322112, 113112122112, 121111216128, 121111322112, 121121114112, 131111132112, 131112122112, 211111322112, 211121114112, 311112122112, 911131213824 (Lekraj Beedassy, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

I numeri insoliti non possono contenere la cifra 0, perché il prodotto delle cifre si annullerebbe; se sono dispari, non possono contenere cifre pari e hanno un numero dispari di cifre.

Se contengono la cifra 5, non possono contenere cifre pari (altrimenti il prodotto delle cifre terminerebbe con 0 e il numero dovrebbe contenere uno 0), di conseguenza il prodotto è multiplo dispari di 5 e terminano per 75.

I numeri insoliti non possono quindi contenere tutte le cifre, 0 escluso, ma possono contenere tutte le cifre, tranne 0 e 5; il minimo del genere è 711813411914121216.

De Konink e Doyon dimostrarono che ve ne sono infiniti contenenti le cifre 1, 2, 3 e 9.

 

I numeri insoliti dispari sono rarissimi: gli unici inferiori a 1022 sono: 111, 111111111, 111731111111113, 11117311111311111, 11131117111113111, 13111131117111111 e 17111113131111111.

 

La tabella seguente riporta il minimo numero insolito contenente una cifra fissata.

Cifra

Numero

1

111

2

11112

3

1111211136

4

111211141112

5

1111111111131111131111111111175

6

122121216

7

123412112474112

8

121111216128

9

911131213824

 

La definizione si può naturalmente generalizzare ad altre basi.

L’unica base nella quale non esistano numeri insoliti è 2, perché un numero di n cifre privo di zeri in base 2 ha la forma 2n – 1 e la somma dei quadrati delle cifre è n, ma dal piccolo teorema di Fermat segue che 2n – 1 non può essere multiplo di n.

 

Se n è un divisore di b – 1, un numero formato da n 1 è insolito in base b. Per esempio, 111111111 è insolito in base 10 e 111113 = 2380 è insolito in base 13.

 

La tabella seguente mostra i numeri insoliti fino a 109 nelle basi fino a 20.

Base

Numeri insoliti

3

113 = 4, 11113 = 40, 11121113 = 1120, 111111113 = 3280, 11111112213 = 29536, 11111121123 = 29552, 11111221113 = 29632, 11112112113 = 29776, 11121111213 = 30256, 11122111113 = 30496, 11211111123 = 31712, 11211211113 = 31792, 12111121113 = 36112, 12211111113 = 38272, 21111112113 = 49216, 21121111113 = 49936, 111112111113 = 88816, 11112112111213 = 803968, 12111111121123 = 974336, 12111121111213 = 975040, 111111111122113 = 2391520, 111111121121113 = 2392240, 111111211112113 = 2393680, 111111221111113 = 2394400, 111211111121113 = 2450560, 111211211111113 = 2452720, 112111111112113 = 2568640, 112111121111113 = 2569360, 112211111111113 = 2627680, 121212111112113 = 2988544, 211222112211113 = 4071424, 212211122111123 = 4222976, 221112211211213 = 4526080, 11111111111111113 = 21523360, 11111111112221123 = 21523712, 11112221121111113 = 21779968, 21112121112122113 = 36069376, 111111111211211213 = 64572352, 111121222111111123 = 65186816, 112111211121122113 = 69412864, 112112112111112123 = 69536768, 112211211121211113 = 71007232, 211122112111211113 = 108332032, 211211111211111113 = 109213312, 212111221121111113 = 112479232, 222121111111112113 = 127280128, 11111111121111111113 = 581150416, 11112111211122122123 = 585973760, 11221121111111222123 = 639057920, 11222112111112111113 = 643486720, 21111211111211221113 = 970147840

4

1114 = 21, 1111111114 = 87381, 1311131314 = 120285, 111111113314 = 1398141, 113111311114 = 1529685

5

115 = 6, 1215 = 36, 11115 = 156, 21235 = 288, 32125 = 432, 1111115 = 3906, 1112215 = 3936, 1121125 = 4032, 1214135 = 4608, 1221115 = 4656, 1312145 = 5184, 2112115 = 7056, 12211415 = 23296, 111111115 = 97656, 3214112115 = 1357056, 11111121215 = 2441536, 11111131245 = 2441664, 11111211125 = 2442032, 11112111345 = 2444544, 11112121115 = 2444656, 11114213115 = 2451456, 11114311125 = 2452032, 11121112115 = 2457056, 11121123315 = 2457216, 11143121115 = 2494656, 11211111215 = 2519536, 11212111115 = 2522656, 11241131115 = 2566656, 12111111125 = 2832032, 12111211115 = 2832656, 12114111135 = 2841408, 12131111415 = 2863296, 13111211415 = 3223296, 14132411215 = 3649536, 21111121115 = 4394656, 21111331125 = 4396032, 21211111115 = 4472656, 21331211115 = 4582656, 31111122135 = 6347808, 31131111225 = 6378912, 31211114115 = 6425856, 111112111115 = 12210156, 111123122115 = 12229056, 111211112145 = 12285184, 111212311215 = 12289536, 111214121115 = 12294656, 111241111125 = 12332032, 112113121125 = 12604032, 114112211115 = 13382656, 114121233115 = 13395456, 122111111145 = 14550784, 131122111125 = 16132032, 141111112125 = 18066432, 211111114215 = 21972736, 211142111115 = 22022656, 212113111215 = 22369536, 311142111235 = 31788288, 331111212145 = 35645184, 412111121115 = 41894656, 1111111111115 = 61035156, 1111111311315 = 61036416, 1111222111125 = 61132032, 1112121121215 = 61441536, 1112231114125 = 61535232, 1121111222115 = 62989056, 1221121111215 = 72769536, 1222211111115 = 73222656, 1311311111115 = 80722656, 1421141111125 = 92332032, 2111111212215 = 109863936, 2111121141415 = 109879296, 2211111122115 = 119629056, 11111111112315 = 305175816, 11111111131125 = 305176032, 11111113211115 = 305182656, 11111121131115 = 305191656, 11111221311145 = 305270784, 11111311112115 = 305332056, 11111312121415 = 305335296, 11112111111315 = 305566416, 11112311111115 = 305722656, 11131111111125 = 309082032, 11131121111115 = 309097656, 11211113111115 = 314947656, 11411111111115 = 334472656, 13111111211115 = 402832656, 13211111111115 = 412597656, 14121423112335 = 453869568, 14212121122325 = 461832192, 21111111131115 = 549316656, 21131111111115 = 553222656, 31211111121145 = 803222784, 31211121211225 = 803238912, 31221141111115 = 805222656, 33331111121225 = 914550912

6

111116 = 1555, 111112114126 = 72567296, 121211212526 = 82918400

7

117 = 8, 227 = 16, 1117 = 57, 11117 = 400, 111217 = 2808, 121117 = 3144, 215137 = 5400, 522147 = 12800, 1111117 = 19608, 1143127 = 20736, 1241137 = 23040, 3121147 = 53568, 4312117 = 74880, 11121117 = 137600, 11122327 = 137664, 22132117 = 272448, 23112217 = 288576, 31111117 = 372555, 111111117 = 960800, 113311117 = 999216, 1111111117 = 6725601, 1111113127 = 6725700, 1111121227 = 6725952, 1131211117 = 6963300, 1221121117 = 7667136, 2122411147 = 12632064, 3312113137 = 19919196, 4211611117 = 24855552, 11111111227 = 47079216, 11111112217 = 47079264, 11111113117 = 47079306, 11111114167 = 47079360, 11111121127 = 47079552, 11111122117 = 47079600, 11111211217 = 47081616, 11111221117 = 47081952, 11112111127 = 47096016, 11112112117 = 47096064, 11112211117 = 47098416, 11113111117 = 47112822, 11121111217 = 47196864, 11121121117 = 47197200, 11122111117 = 47213664, 11131414117 = 47321856, 11141411137 = 47439360, 11211111127 = 47902752, 11211112117 = 47902800, 11211211117 = 47905152, 11221111117 = 48020400, 11354131147 = 49248000, 12111111217 = 52844016, 12111121117 = 52844352, 12111612127 = 52856064, 12112111117 = 52860816, 12211111117 = 53667552, 13111111117 = 58608810, 13251141427 = 59904000, 13311111157 = 60255900, 14111114137 = 64373760, 15311311117 = 71790300, 21111111127 = 87432816, 21111112117 = 87432864, 21111211117 = 87435216, 21121111117 = 87550464, 21213111517 = 88290000, 22111111117 = 93197616, 31112121517 = 127803600, 31115121217 = 127854000, 33111255217 = 139320000, 51213111217 = 209350800, 111111311317 = 329559273, 111113131117 = 329588757, 111121412137 = 329679360, 111124211117 = 329724928, 111141115117 = 329907600, 111151114117 = 330025200, 111161111317 = 330142716, 111311111167 = 331201548, 112114112117 = 335369728, 112311133117 = 336967128, 133511214217 = 425088000, 141141151147 = 450969600, 211111312147 = 612034560, 211114111127 = 612080128, 211512113347 = 615340800, 222513213127 = 661478400, 242312311237 = 740524032, 312131211127 = 900507456, 321523111147 = 938304000

8

11111118 = 299593

9

119 = 10, 11119 = 820, 11111219 = 597880, 11121119 = 598600, 11222179 = 605248, 12111119 = 656920, 111111119 = 5380840, 111154129 = 5384000, 115412119 = 5636800, 121151149 = 5915200, 151141219 = 7508800, 251111419 = 12289600, 412111159 = 19788800, 541211119 = 26113600, 11111111119 = 435848050, 11111141149 = 435850240, 11211117279 = 440631520

10

111, 11112, 1122112, 111111111, 122121216

11

1111 = 12, 12111 = 144, 111111 = 1464, 512211 = 6800, 1111111 = 16105, 1113211 = 16128, 2311111 = 33408, 5211111 = 76000, 8111111 = 118592, 11111111 = 177156, 11112211 = 177168, 11221111 = 178608, 12112111 = 191808, 21111211 = 338208, 22111111 = 352848, 111123111 = 1948860, 111311211 = 1951380, 132111111 = 2285460, 211311111 = 3722940, 212121111 = 3735040, 712221111 = 12594176, 1111111111 = 21435888, 1114313211 = 21482496, 1325215111 = 25200000, 1421121211 = 26911744, A211112211 = 198592000, 11111112111 = 235794780, 11111211111 = 235796100, 11112711511 = 235817400, 11121111111 = 235955820, 11126215111 = 236030400, 11224225111 = 237772800, 11413117111 = 241138800, 12111111111 = 255281940, 13312511311 = 278332200, 15223132111 = 315705600, 23131153111 = 489450600

12

-

13

1113 = 14, 11113 = 183, 111113 = 2380, 1212213 = 33152, 3116113 = 88128, 11111113 = 402234, 14321113 = 492480, 21114313 = 773568, 31412113 = 1151424, 32141113 = 1173888, 41213113 = 1518336, 111111313 = 5229045, 111211113 = 5231240, 122132113 = 5629248, 123112213 = 5657472, 131711113 = 5984811, 211321213 = 10060416, 212123113 = 10084608, 1111111113 = 67977560, 1312211113 = 77661936, 1512415113 = 87320000, 2131121113 = 131468832, 11111111113 = 883708281, 11111114113 = 883708320, 11112131113 = 883737180, 11113211113 = 883767600, 11131112113 = 884450880, 11141111113 = 884822160, 11313251713 = 893421900, 12111212113 = 946459008

14

321214 = 8640, 111311214 = 8114220, 211121214 = 15638464, 321521214 = 23716800, 511111114 = 38226875, 1211121214 = 121051968, 1411241214 = 136114176, 2431523614 = 242611200, 3111113214 = 324349272

15

1115 = 16, 2215 = 32, 111115 = 3616, 1112115 = 54256, 1211115 = 57616, 3424315 = 165888, 11124315 = 813888, 12411315 = 874368, 41121315 = 3091968, 111111115 = 12204241, 111121315 = 12204468, 112111315 = 12254868, 211111315 = 23594868, 1111111115 = 183063616, 1111311315 = 183070368, 1121211315 = 183826368

16

11116 = 273, 1111116 = 69905

17

1117 = 18, 12117 = 324, 21517 = 600, 111117 = 5220, 11111117 = 1508598, 12228117 = 1597440, 111211117 = 25651080, 133233117 = 28658448, 421C12A17 = 99532800, 1111111117 = 435984840, 111115D117 = 435986200, 1142115117 = 440328000, 1511142117 = 532536000, 2115111417 = 846657600

18

1218 = 20, 1111218 = 111152, 2111218 = 216128, 122111218 = 38007488, 1211111218 = 682245200, 1422111218 = 752264192, 1514111218 = 784596800

19

1119 = 20, 11119 = 381, 111119 = 7240, 11111119 = 2613660, 111112119 = 49659560, 111211119 = 49666400, 111711619 = 49700700, 121111119 = 52135640, 551113219 = 247747500, 611711119 = 284930100, 1111111119 = 943531280, 1112212219 = 943668480

20

3243420 = 497664, 11112820 = 3368448, 111111520 = 67368425

 

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • De Koninck, Jean-Marie;  Doyon, N.;  "On a Very Thin Sequence of Integers" in Annales of University of Sciences Budapest, 2001.

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