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Zuckerman (numeri di)

Rappresentazione dei numeri 

J.J. Tattersall definì “numeri di Zuckerman “ i numeri naturali divisibili per il prodotto delle loro cifre.

 

Nessun numero di Zuckerman può contenere zero, pertanto in base 2 i numeri di Zuckerman sono tutti e soli i numeri pluriunitari, cioè i numeri della forma 2n – 1.

 

In qualsiasi base b sono numeri di Zuckerman i numeri formati da una sola cifra, cioè da 1 a b – 1, e i numeri pluriunitari; pertanto sono infiniti e qualsiasi numero naturale n è un numero di Zuckerman in base n – 1 e in tutte le basi maggiori di n.

 

In qualsiasi base b che non sia un numero primo, un numero formato da un divisore di b, preceduto da un qualsiasi numero di 1 è un numero di Zuckerman. Per esempio, 12 e 1115 e in generale tutti i numeri formati da un qualsiasi numero di 1 seguiti da 2 o 5 sono numeri di Zuckerman in base 10.

 

In base 10 sono numeri di Zuckerman anche:

  • tutti i numeri formati da 2, seguito da un qualsiasi numero di 1 (almeno uno) e 2, come 211112;

  • tutti i numeri che iniziano con 4, 8, 24, 42, seguiti da un qualsiasi numero di 1 (almeno due) e 2, come 41112.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Zuckerman sino a 1000, nelle basi fino a 20.

Base

Numeri

2

12 = 1, 112 = 3, 1112 = 7, 11112 = 15, 111112 = 31, 1111112 = 63, 11111112 = 127, 111111112 = 255, 1111111112 = 511

3

13 = 1, 23 = 2, 113 = 4, 223 = 8, 1113 = 13, 1123 = 14, 1213 = 16, 2113 = 22, 11113 = 40, 11223 = 44, 12213 = 52, 21123 = 68, 22113 = 76, 22223 = 80, 111113 = 121, 111123 = 122, 111213 = 124, 112113 = 130, 121113 = 148, 121223 = 152, 122213 = 160, 211113 = 202, 221213 = 232, 1111113 = 364, 1111223 = 368, 1112213 = 376, 1121123 = 392, 1122113 = 400, 1211213 = 448, 1221113 = 472, 2111123 = 608, 2112113 = 616, 2211113 = 688

4

14 = 1, 24 = 2, 34 = 3, 114 = 5, 124 = 6, 1114 = 21, 1124 = 22, 1324 = 30, 3124 = 54, 11114 = 85, 11124 = 86, 11134 = 87, 11314 = 93, 13114 = 117, 13324 = 126, 31114 = 213, 111114 = 341, 111124 = 342, 111334 = 351, 131314 = 477, 311134 = 855, 331114 = 981

5

15 = 1, 25 = 2, 35 = 3, 45 = 4, 115 = 6, 225 = 12, 335 = 18, 1115 = 31, 1125 = 32, 1135 = 33, 1215 = 36, 1325 = 42, 1435 = 48, 2115 = 56, 2245 = 64, 2315 = 66, 3115 = 81, 3145 = 84, 3415 = 96, 4135 = 108, 4225 = 112, 11115 = 156, 12145 = 184, 12325 = 192, 13315 = 216, 14125 = 232, 21235 = 288, 21415 = 296, 23215 = 336, 32125 = 432, 41215 = 536, 111115 = 781, 111125 = 782, 111135 = 783, 111145 = 784, 111215 = 786, 111325 = 792, 111415 = 796, 112115 = 806, 112315 = 816, 113115 = 831, 114115 = 856, 114245 = 864, 121115 = 906, 121225 = 912, 121335 = 918, 122215 = 936

6

16 = 1, 26 = 2, 36 = 3, 46 = 4, 56 = 5, 116 = 7, 126 = 8, 136 = 9, 246 = 16, 1116 = 43, 1126 = 44, 1136 = 45, 1446 = 64, 2126 = 80, 3136 = 117, 4126 = 152, 4246 = 160, 11116 = 259, 11126 = 260, 11136 = 261, 11536 = 285, 12126 = 296, 12246 = 304, 12526 = 320, 13136 = 333, 14126 = 368, 15136 = 405, 21126 = 476, 21526 = 500, 22126 = 512, 25126 = 620, 25446 = 640, 31136 = 693, 42126 = 944

7

17 = 1, 27 = 2, 37 = 3, 47 = 4, 57 = 5, 67 = 6, 117 = 8, 227 = 16, 447 = 32, 1117 = 57, 1127 = 58, 1147 = 60, 1217 = 64, 1237 = 66, 1327 = 72, 1357 = 75, 1517 = 85, 1567 = 90, 2117 = 106, 2137 = 108, 2157 = 110, 2317 = 120, 2427 = 128, 2647 = 144, 3127 = 156, 3217 = 162, 3457 = 180, 4117 = 204, 4627 = 240, 5137 = 255, 5217 = 260, 6517 = 330, 11117 = 400, 11137 = 402, 11227 = 408, 11317 = 414, 12217 = 456, 12257 = 460, 12367 = 468, 12547 = 480, 13117 = 498, 14167 = 552, 15157 = 600, 16147 = 648, 21127 = 744, 22117 = 792, 22227 = 800, 22517 = 820, 23437 = 864, 25127 = 940, 25417 = 960

8

18 = 1, 28 = 2, 38 = 3, 48 = 4, 58 = 5, 68 = 6, 78 = 7, 118 = 9, 128 = 10, 148 = 12, 338 = 27, 1118 = 73, 1128 = 74, 1138 = 75, 1148 = 76, 1168 = 78, 1328 = 90, 1518 = 105, 1768 = 126, 3118 = 201, 3148 = 204, 3748 = 252, 5128 = 330, 5318 = 345, 7168 = 462, 7528 = 490, 11118 = 585, 11128 = 586, 11148 = 588, 11338 = 603, 11548 = 620, 13128 = 714, 13318 = 729

9

19 = 1, 29 = 2, 39 = 3, 49 = 4, 59 = 5, 69 = 6, 79 = 7, 89 = 8, 119 = 10, 139 = 12, 229 = 20, 269 = 24, 559 = 50, 1119 = 91, 1129 = 92, 1139 = 93, 1159 = 95, 1169 = 96, 1219 = 100, 1239 = 102, 1439 = 120, 1739 = 147, 2119 = 172, 2139 = 174, 2539 = 210, 4139 = 336, 5119 = 415, 5169 = 420, 5839 = 480, 7239 = 588, 8269 = 672, 11119 = 820, 11139 = 822, 11179 = 826, 11249 = 832, 11429 = 848, 12149 = 904, 12239 = 912, 12419 = 928

10

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 24, 36, 111, 112, 115, 128, 132, 135, 144, 175, 212, 216, 224, 312, 315, 384, 432, 612, 624, 672, 735, 816

11

111 = 1, 211 = 2, 311 = 3, 411 = 4, 511 = 5, 611 = 6, 711 = 7, 811 = 8, 911 = 9, A11 = 10, 1111 = 12, 2211 = 24, 3311 = 36, 4411 = 48, 6611 = 72, 11111 = 133, 11211 = 134, 11311 = 135, 11411 = 136, 11611 = 138, 12111 = 144, 13211 = 156, 14311 = 168, 15411 = 180, 19511 = 225, 21111 = 254, 23111 = 276, 24211 = 288, 25311 = 300, 29111 = 342, 31111 = 375, 32511 = 390, 33911 = 405, 34111 = 408, 35211 = 420, 36311 = 432, 37111 = 441, 41111 = 496, 41511 = 500, 41911 = 504, 45111 = 540, 51411 = 620, 52311 = 630, 61111 = 738, 71311 = 861, 73211 = 882, 82211 = 992

12

112 = 1, 212 = 2, 312 = 3, 412 = 4, 512 = 5, 612 = 6, 712 = 7, 812 = 8, 912 = 9, A12 = 10, B12 = 11, 1112 = 13, 1212 = 14, 1312 = 15, 1412 = 16, 1612 = 18, 2812 = 32, 11112 = 157, 11212 = 158, 11312 = 159, 11412 = 160, 11612 = 162, 12812 = 176, 13912 = 189, 15112 = 205, 15612 = 210, 17312 = 231, 21412 = 304, 22812 = 320, 31612 = 450, 35312 = 495, 41412 = 592, 45412 = 640, 51312 = 735, 57112 = 805

13

113 = 1, 213 = 2, 313 = 3, 413 = 4, 513 = 5, 613 = 6, 713 = 7, 813 = 8, 913 = 9, A13 = 10, B13 = 11, C13 = 12, 1113 = 14, 2213 = 28, 7713 = 98, 11113 = 183, 11213 = 184, 11713 = 189, 12113 = 196, 12313 = 198, 12513 = 200, 13213 = 210, 13813 = 216, 15113 = 235, 15613 = 240, 18713 = 280, 19213 = 288, 19B13 = 297, 1A113 = 300, 21113 = 352, 21313 = 354, 21913 = 360, 22413 = 368, 23113 = 378, 24A13 = 400, 2AC13 = 480, 31213 = 522, 31513 = 525, 31813 = 528, 32113 = 534, 3BA13 = 660, 42213 = 704, 43513 = 720, 51213 = 860, 53113 = 885, 54313 = 900, 57913 = 945, 5B213 = 990

14

114 = 1, 214 = 2, 314 = 3, 414 = 4, 514 = 5, 614 = 6, 714 = 7, 814 = 8, 914 = 9, A14 = 10, B14 = 11, C14 = 12, D14 = 13, 1114 = 15, 1214 = 16, 1714 = 21, 2414 = 32, 3314 = 45, 4814 = 64, 5514 = 75, 11114 = 211, 11214 = 212, 11314 = 213, 11514 = 215, 11614 = 216, 11714 = 217, 11A14 = 220, 13214 = 240, 14414 = 256, 16814 = 288, 19214 = 324, 1B214 = 352, 21214 = 408, 22C14 = 432, 26414 = 480, 28814 = 512, 31114 = 603, 31714 = 609, 32814 = 624, 35214 = 660, 3DA14 = 780, 41214 = 800, 51114 = 995

15

115 = 1, 215 = 2, 315 = 3, 415 = 4, 515 = 5, 615 = 6, 715 = 7, 815 = 8, 915 = 9, A15 = 10, B15 = 11, C15 = 12, D15 = 13, E15 = 14, 1115 = 16, 1315 = 18, 1515 = 20, 2215 = 32, 2615 = 36, 2A15 = 40, 3915 = 54, 4415 = 64, 8815 = 128, 11115 = 241, 11215 = 242, 11315 = 243, 11415 = 244, 11515 = 245, 11615 = 246, 11815 = 248, 11A15 = 250, 11C15 = 252, 12115 = 256, 12315 = 258, 12515 = 260, 14315 = 288, 16915 = 324, 17615 = 336, 1B615 = 396, 21115 = 466, 21315 = 468, 21515 = 470, 24215 = 512, 27515 = 560, 28615 = 576, 2B115 = 616, 2D515 = 650, 2EC15 = 672, 31315 = 693, 33915 = 729, 41115 = 916, 41515 = 920

16

116 = 1, 216 = 2, 316 = 3, 416 = 4, 516 = 5, 616 = 6, 716 = 7, 816 = 8, 916 = 9, A16 = 10, B16 = 11, C16 = 12, D16 = 13, E16 = 14, F16 = 15, 1116 = 17, 1216 = 18, 1416 = 20, 1816 = 24, 3616 = 54, 11116 = 273, 11216 = 274, 11416 = 276, 11816 = 280, 13216 = 306, 13816 = 312, 15416 = 340, 15E16 = 350, 19516 = 405, 1B816 = 440, 1D416 = 468, 31216 = 786, 31816 = 792, 31E16 = 798, 37216 = 882

17

117 = 1, 217 = 2, 317 = 3, 417 = 4, 517 = 5, 617 = 6, 717 = 7, 817 = 8, 917 = 9, A17 = 10, B17 = 11, C17 = 12, D17 = 13, E17 = 14, F17 = 15, G17 = 16, 1117 = 18, 2217 = 36, 3317 = 54, 6617 = 108, 9917 = 162, 11117 = 307, 11217 = 308, 11317 = 309, 11617 = 312, 11917 = 315, 12117 = 324, 13217 = 342, 13517 = 345, 14317 = 360, 14717 = 364, 15117 = 375, 15B17 = 385, 17C17 = 420, 1A117 = 460, 1DA17 = 520, 21117 = 596, 21517 = 600, 21717 = 602, 22C17 = 624, 23117 = 630, 2B517 = 770, 2F717 = 840, 31117 = 885, 31417 = 888, 31D17 = 897, 34117 = 936, 35817 = 960, 36317 = 972, 37117 = 987

18

118 = 1, 218 = 2, 318 = 3, 418 = 4, 518 = 5, 618 = 6, 718 = 7, 818 = 8, 918 = 9, A18 = 10, B18 = 11, C18 = 12, D18 = 13, E18 = 14, F18 = 15, G18 = 16, H18 = 17, 1118 = 19, 1218 = 20, 1318 = 21, 1618 = 24, 1918 = 27, 2418 = 40, 2C18 = 48, 5A18 = 100, 11118 = 343, 11218 = 344, 11318 = 345, 11618 = 348, 11918 = 351, 12818 = 368, 14418 = 400, 15118 = 415, 15618 = 420, 17518 = 455, 18C18 = 480, 1B618 = 528, 1D118 = 559, 21218 = 668, 21618 = 672, 22418 = 688, 25218 = 740, 2D218 = 884, 31918 = 999

19

119 = 1, 219 = 2, 319 = 3, 419 = 4, 519 = 5, 619 = 6, 719 = 7, 819 = 8, 919 = 9, A19 = 10, B19 = 11, C19 = 12, D19 = 13, E19 = 14, F19 = 15, G19 = 16, H19 = 17, I19 = 18, 1119 = 20, 2219 = 40, 4419 = 80, 5519 = 100, AA19 = 200, 11119 = 381, 11219 = 382, 11419 = 384, 11519 = 385, 11A19 = 390, 12119 = 400, 12319 = 402, 12719 = 406, 13219 = 420, 13B19 = 429, 15419 = 460, 16519 = 480, 1B219 = 572, 1DG19 = 624, 1E319 = 630, 1G719 = 672, 21119 = 742, 21319 = 744, 21D19 = 754, 22819 = 768, 23119 = 780, 24219 = 800, 2CA19 = 960

20

120 = 1, 220 = 2, 320 = 3, 420 = 4, 520 = 5, 620 = 6, 720 = 7, 820 = 8, 920 = 9, A20 = 10, B20 = 11, C20 = 12, D20 = 13, E20 = 14, F20 = 15, G20 = 16, H20 = 17, I20 = 18, J20 = 19, 1120 = 21, 1220 = 22, 1420 = 24, 1520 = 25, 1A20 = 30, 2820 = 48, 3320 = 63, 3C20 = 72, 7720 = 147, 11120 = 421, 11220 = 422, 11320 = 423, 11420 = 424, 11520 = 425, 11620 = 426, 11720 = 427, 11A20 = 430, 11C20 = 432, 11E20 = 434, 11F20 = 435, 12820 = 448, 13220 = 462, 13520 = 465, 16820 = 528, 17620 = 546, 19520 = 585, 1D320 = 663, 21420 = 824, 23420 = 864, 24G20 = 896

 

Vi sono numeri che sono contemporaneamente harshad e di Zuckerman, ossia divisibili sia per la somma delle cifre, che per il loro prodotto. La tabella seguente mostra i numeri harshad e di Zuckerman sino a 1000, nelle basi fino a 20.

Base

Numeri

2

1 = 12

3

13 = 1, 23 = 2, 113 = 4, 223 = 8, 1213 = 16, 11113 = 40, 22223 = 80, 121223 = 152, 122213 = 160, 221213 = 232, 1111223 = 368, 1112213 = 376, 1121123 = 392, 1122113 = 400, 1211213 = 448, 1221113 = 472, 2111123 = 608, 2112113 = 616, 2211113 = 688

4

14 = 1, 24 = 2, 34 = 3, 124 = 6, 1114 = 21, 1324 = 30, 3124 = 54, 13324 = 126, 111124 = 342, 111334 = 351, 131314 = 477, 311134 = 855, 331114 = 981

5

15 = 1, 25 = 2, 35 = 3, 45 = 4, 115 = 6, 225 = 12, 335 = 18, 1125 = 32, 1215 = 36, 1325 = 42, 1435 = 48, 2115 = 56, 2245 = 64, 2315 = 66, 3415 = 96, 4225 = 112, 11115 = 156, 12145 = 184, 12325 = 192, 13315 = 216, 14125 = 232, 21235 = 288, 21415 = 296, 23215 = 336, 32125 = 432, 41215 = 536, 111145 = 784, 111215 = 786, 111325 = 792, 112315 = 816, 114115 = 856, 114245 = 864, 121115 = 906, 121225 = 912, 122215 = 936

6

16 = 1, 26 = 2, 36 = 3, 46 = 4, 56 = 5, 1126 = 44, 1136 = 45, 2126 = 80, 4246 = 160, 11126 = 260, 12526 = 320, 14126 = 368, 21526 = 500, 25126 = 620

7

17 = 1, 27 = 2, 37 = 3, 47 = 4, 57 = 5, 67 = 6, 117 = 8, 227 = 16, 447 = 32, 1117 = 57, 1147 = 60, 1217 = 64, 1237 = 66, 1327 = 72, 2137 = 108, 2317 = 120, 2427 = 128, 2647 = 144, 3127 = 156, 3217 = 162, 3457 = 180, 4117 = 204, 4627 = 240, 11117 = 400, 11137 = 402, 11227 = 408, 11317 = 414, 12217 = 456, 12257 = 460, 12367 = 468, 12547 = 480, 13117 = 498, 14167 = 552, 15157 = 600, 16147 = 648, 21127 = 744, 22117 = 792, 22227 = 800, 22517 = 820, 23437 = 864, 25127 = 940, 25417 = 960

8

18 = 1, 28 = 2, 38 = 3, 48 = 4, 58 = 5, 68 = 6, 78 = 7, 1138 = 75, 1328 = 90, 1518 = 105, 1768 = 126, 3748 = 252, 7168 = 462, 7528 = 490, 11148 = 588, 13128 = 714

9

19 = 1, 29 = 2, 39 = 3, 49 = 4, 59 = 5, 69 = 6, 79 = 7, 89 = 8, 119 = 10, 139 = 12, 229 = 20, 269 = 24, 559 = 50, 1129 = 92, 1169 = 96, 1219 = 100, 1239 = 102, 1439 = 120, 2119 = 172, 2139 = 174, 2539 = 210, 4139 = 336, 5169 = 420, 5839 = 480, 7239 = 588, 8269 = 672, 11119 = 820, 11139 = 822, 11249 = 832, 11429 = 848, 12149 = 904, 12239 = 912, 12419 = 928

10

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 24, 36, 111, 112, 132, 135, 144, 216, 224, 312, 315, 432, 612, 624, 735

11

111 = 1, 211 = 2, 311 = 3, 411 = 4, 511 = 5, 611 = 6, 711 = 7, 811 = 8, 911 = 9, A11 = 10, 1111 = 12, 2211 = 24, 3311 = 36, 4411 = 48, 6611 = 72, 11311 = 135, 12111 = 144, 13211 = 156, 14311 = 168, 15411 = 180, 19511 = 225, 23111 = 276, 24211 = 288, 25311 = 300, 31111 = 375, 32511 = 390, 33911 = 405, 34111 = 408, 35211 = 420, 36311 = 432, 41511 = 500, 41911 = 504, 45111 = 540, 51411 = 620, 52311 = 630

12

112 = 1, 212 = 2, 312 = 3, 412 = 4, 512 = 5, 612 = 6, 712 = 7, 812 = 8, 912 = 9, A12 = 10, B12 = 11, 12812 = 176, 17312 = 231, 31612 = 450, 35312 = 495

13

113 = 1, 213 = 2, 313 = 3, 413 = 4, 513 = 5, 613 = 6, 713 = 7, 813 = 8, 913 = 9, A13 = 10, B13 = 11, C13 = 12, 1113 = 14, 2213 = 28, 7713 = 98, 11113 = 183, 11213 = 184, 11713 = 189, 12113 = 196, 12313 = 198, 12513 = 200, 13213 = 210, 13813 = 216, 15613 = 240, 19213 = 288, 1A113 = 300, 21113 = 352, 21313 = 354, 21913 = 360, 22413 = 368, 23113 = 378, 24A13 = 400, 2AC13 = 480, 31213 = 522, 31813 = 528, 32113 = 534, 42213 = 704, 43513 = 720, 54313 = 900, 57913 = 945, 5B213 = 990

14

114 = 1, 214 = 2, 314 = 3, 414 = 4, 514 = 5, 614 = 6, 714 = 7, 814 = 8, 914 = 9, A14 = 10, B14 = 11, C14 = 12, D14 = 13, 11214 = 212, 11614 = 216, 13214 = 240, 19214 = 324, 22C14 = 432, 26414 = 480, 32814 = 624, 35214 = 660, 3DA14 = 780

15

115 = 1, 215 = 2, 315 = 3, 415 = 4, 515 = 5, 615 = 6, 715 = 7, 815 = 8, 915 = 9, A15 = 10, B15 = 11, C15 = 12, D15 = 13, E15 = 14, 1115 = 16, 2215 = 32, 4415 = 64, 8815 = 128, 11515 = 245, 11C15 = 252, 12115 = 256, 12315 = 258, 14315 = 288, 17615 = 336, 1B615 = 396, 21315 = 468, 24215 = 512, 27515 = 560, 28615 = 576, 2B115 = 616, 2EC15 = 672, 31315 = 693, 41515 = 920

16

116 = 1, 216 = 2, 316 = 3, 416 = 4, 516 = 5, 616 = 6, 716 = 7, 816 = 8, 916 = 9, A16 = 10, B16 = 11, C16 = 12, D16 = 13, E16 = 14, F16 = 15, 1216 = 18, 1416 = 20, 3616 = 54, 11116 = 273, 11416 = 276, 11816 = 280, 13216 = 306, 13816 = 312, 15416 = 340, 19516 = 405, 1B816 = 440, 1D416 = 468, 31216 = 786, 31816 = 792

17

117 = 1, 217 = 2, 317 = 3, 417 = 4, 517 = 5, 617 = 6, 717 = 7, 817 = 8, 917 = 9, A17 = 10, B17 = 11, C17 = 12, D17 = 13, E17 = 14, F17 = 15, G17 = 16, 1117 = 18, 2217 = 36, 3317 = 54, 6617 = 108, 9917 = 162, 11217 = 308, 11617 = 312, 12117 = 324, 13217 = 342, 14317 = 360, 17C17 = 420, 21117 = 596, 21517 = 600, 22C17 = 624, 23117 = 630, 2F717 = 840, 31117 = 885, 31417 = 888, 34117 = 936, 35817 = 960, 36317 = 972

18

118 = 1, 218 = 2, 318 = 3, 418 = 4, 518 = 5, 618 = 6, 718 = 7, 818 = 8, 918 = 9, A18 = 10, B18 = 11, C18 = 12, D18 = 13, E18 = 14, F18 = 15, G18 = 16, H18 = 17, 11218 = 344, 11318 = 345, 15618 = 420, 17518 = 455, 22418 = 688, 2D218 = 884

19

119 = 1, 219 = 2, 319 = 3, 419 = 4, 519 = 5, 619 = 6, 719 = 7, 819 = 8, 919 = 9, A19 = 10, B19 = 11, C19 = 12, D19 = 13, E19 = 14, F19 = 15, G19 = 16, H19 = 17, I19 = 18, 1119 = 20, 2219 = 40, 4419 = 80, 5519 = 100, AA19 = 200, 11119 = 381, 11419 = 384, 11519 = 385, 12119 = 400, 12319 = 402, 13219 = 420, 15419 = 460, 16519 = 480, 1E319 = 630, 1G719 = 672, 21319 = 744, 22819 = 768, 23119 = 780, 24219 = 800, 2CA19 = 960

20

220 = 2, 320 = 3, 420 = 4, 520 = 5, 620 = 6, 720 = 7, 820 = 8, 920 = 9, A20 = 10, B20 = 11, C20 = 12, D20 = 13, E20 = 14, F20 = 15, G20 = 16, H20 = 17, I20 = 18, J20 = 19, 13220 = 462, 17620 = 546, 19520 = 585, 1D320 = 663, 23420 = 864

 

Nessun intero maggiore di 1 è harshad e di Zuckerman in base 2, perché gli interi della forma 2n – 1 non possono essere harshad. Infatti la somma delle loro cifre è n, ma se n è pari, non può dividere 2n – 1 che è dispari, mentre se n = pk, dove p è il minimo primo dispari che divida n, 2pk – 1 ≡ (2(2p – 1))k – 1 ≡ 2k – 1 mod p; quindi p divide il numero pluriunitario solo se k è maggiore di 1 e multiplo di un divisore di p – 1 (per il piccolo teorema di Fermat), ma per ipotesi k è 1 o è il prodotto di primi non minori di p.

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