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Smith (numeri di)

Rappresentazione dei numeri  Vari 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Insiemi di Monica e di Suzanne

Si chiamano “numeri di Smith” i numeri composti, nei quali la somma delle cifre è uguale alla somma delle cifre dei fattori primi. La precisazione che siano composti, serve a escludere i numeri primi, che sarebbero numeri di Smith banali.

 

Come i numeri di Rhonda e di Ruth – Aaron, sono un caso molto raro di un insieme di numeri che ha ricevuto il nome di una persona che nulla ha avuto a che fare con la loro scoperta o con il loro studio: il nome deriva, infatti, dall’osservazione di Albert Wilansky, che nel 1982 notò che 4937775, vale a dire il numero di telefono di suo cognato, Harold Smith, aveva questa proprietà (e ci si chiede come gli sia venuto in mente!).

 

I numeri di Smith inferiori a 1000 sono: 4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985.

Qui trovate i numeri di Smith inferiori a 106.

 

La tabella seguente mostra il numero di numeri di Smith minori di 10n, per n fino a 13 (Max Alekseyev e Shyam Sunder Gupta, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Numeri di Smith minori di 10n

1

1

2

6

3

49

4

376

5

3294

6

29928

7

278411

8

2632758

9

25154060

10

241882509

11

2335807857

12

22635291815

13

219935518608

 

Pochi matematici si sono interessati di quella che consideravano al massimo una banalità ricreativa, tuttavia nel 1983 Sham Oltikar e Keith Wayland dimostrarono che dato un numero primo formato da una serie di 1 e maggiore di 11, come 1111111111111111111 (v. numeri pluriunitari), basta moltiplicarlo per 3304 per ottenere un numero di Smith e che per ogni numero primo formato esclusivamente da 0 e 1, esiste un multiplo che è un numero di Smith.

In seguito si scopri che esistono numerosi altri moltiplicatori che possono sostituire 3304; i primi noti sono: 1540, 1720, 2170, 2440, 3304, 5590, 6040, 7930, 8344, 8470, 8920, 10270, 11080, 11620, 16030, 21340, 22330, 23590, 24130, 24220, 24490, 25228, 29080, 30070, 31528, 31780, 33544, 34120, 34390, 35380, 39970, 40330, 40420, 40870, 42490, 42598, 43480, 44380, 45955, 46270, 46810, 46990, 47908, 48790, 49960, 51490, 51625, 52345, 52570, 53290, 57070, 57160, 57880, 59770, 60625, 62020, 62146, 63928, 64360, 64540, 65080, 66970, 67528, 69355, 70120, 71380, 72982, 73810, 74440, 74710, 76780, 78040, 79030, 79570, 80470, 80740, 82270, 82990, 84790, 85330, 85870, 86590, 87490, 87580, 87850, 88228, 89560, 89740, 89830, 92440, 92620, 95266, 97030, 97048, 98875, 108955.

Tra questi, 1540, 1720, 2170, 2440, 5590, 6040, 7930, 8344, 8470, 8920, 23590, 24490, 25228, 29080, 31528, 31780, 33544, 34390, 35380, 39970, 40870, 42490, 42598, 43480, 44380, 45955, 46270, 46810, 46990, 47908, 48790, 49960, 51490, 51625, 52345 51490, 51625, 52345, 52570, 53290, 57070, 57160, 57880, 59770, 60625, 62146, 63928, 64360, 64540, 65080, 66970, 67528, 69355, 71380, 72982, 73810, 74440, 74710, 76780, 78040, 79030, 79570, 80470, 80740, 82270, 82990, 84790, 85330, 85870, 86590, 87490, 87580, 87850, 88228, 89560, 89740, 89830, 92440, 92620, 95266, 97030, 97048, 98875 e 108955 producono numeri di Smith anche se moltiplicati per 11.

 

L’articolo di Oltikar e Wayland stimolò la ricerca di altri metodi per generare numeri di Smith sempre maggiori.

 

Nel 1984 Patrick Costello trovò 75 numeri di Smith, il massimo dei quali è 191 • (2216091 – 1) • 10266, formato da 65319 cifre, della forma pq10k, dove p è un primo e q è un primo di Mersenne.

 

Indichiamo con S(n, b) la somma delle cifre di n in base b, e con Sp(n, b) la somma delle cifre dei fattori primi, sempre in base b; se S(n, 10) > Sp(n, 10) e S(n, 10) ≡ Sp(n, 10) mod 7, allora Formula per il calcolo di numeri di Smith è un numero di Smith. Per esempio, per n = 2197 = 133, S(n, 10) = 19, Sp(n, 10) = 12 e 10^((19 – 12) / 7) è un numero di Smith.

 

Wayne L. McDonald dimostrò nel 1989 che in ogni base b maggiore di 7, esistono infiniti numeri composti tali che Sp(n, b) – S(n, b) sia uguale a un qualsiasi intero prefissato e quindi in particolare che i numeri di Smith sono infiniti.

 

Nel 2002 Patrick Costello e Kathy Lewis dimostrarono che esistono infiniti numeri di Smith della forma 11n10m9Rk, dove Rk è un primo pluriunitario di k cifre, per opportuni valori di n e m.

 

I massimi numeri di Smith oggi noti hanno la forma 9 • Rk • pn • 10m, per opportuni valori di n e m, dove p è un primo palindromo, scritto che inizia e finisce per 1 e ha una sola altra cifra diversa da zero:

  • nel 1990 S. Yates trovò il numero di Smith 9 • R1031 • (104594 + 3 • 102297 + 1)1476 • 103913210, con 10694986 cifre e poco dopo il numero 9 • R1031 • (106752 + 3 • 103286 + 1)1476 • 103913210, con 13614514 cifre;

  • nel 2009 Patrick Costello trovò 9 • R1031 • (1028572 + 8 • 1014286 + 1)1027 • 102722434, con 32066910 cifre;

  • utilizzando il primo palindromo p = 1069882 + 3 • 1034941 + 1, si può dimostrare che 9 • R1031 • p1476 • 103913210 è un numero di Smith di 107060074 cifre.

 

La tabella seguente riporta i minimi numeri di Smith che siano prodotto di esattamente n fattori primi, per n sino a 27 (Shyam Sunder Gupta).

n

Minimo numero di Smith

2

4

3

27

4

636

5

378

6

729

7

648

8

576

9

2688

10

17496

11

44928

12

75776

13

168960

14

765952

15

319488

16

958464

17

5537792

18

5963776

19

2883584

20

5767168

21

7077888

22

279969792

23

544997376

24

778567680

25

2579496960

26

4567597056

27

3875536896

 

I numeri di Smith quadrati inferiori a 106 sono: 4, 121, 576, 729, 6084, 10201, 17424, 18496, 36481, 51529, 100489, 124609, 184041, 195364, 410881, 559504, 674041, 695556, 732736, 887364, 896809, 966289, 988036.

Qui trovate i numeri di Smith quadrati inferiori a 1012.

 

I numeri di Smith cubici inferiori a 109 sono: 27, 729, 19683, 474552, 7077888, 7414875, 8489664, 62099136, 112678587, 236029032, 246491883, 257259456, 279726264, 345948408, 463684824, 567663552, 638277381, 721734273, 766060875, 988047936.

Qui trovate i numeri di Smith cubici inferiori a 1015 (Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

I numeri di Smith triangolari inferiori a 106 sono: 378, 666, 861, 2556, 5253, 7503, 10296, 16653, 27261, 28920, 29890, 32896, 46056, 72771, 84255, 85905, 92235, 94395, 120786, 132870, 141778, 157641, 215496, 328455, 345696, 385881, 386760, 396495, 424581, 529935, 533028, 588070, 654940, 682696, 683865, 723003, 778128, 866586, 885115, 897130, 941878, 959805, 977901, 993345.

Qui trovate i numeri di Smith triangolari inferiori a 1012.

 

Si conoscono solo 3 numeri di Smith che siano anche numeri di Fibonacci:

  • F31 = 1346269,

  • F77 = 5527939700884757,

  • F231 = 844617150046923109759866426342507997914076076194.

 

Esistono infiniti interi che sono contemporaneamente numeri harshad e di Smith; quelli inferiori a 10000 sono: 4, 27, 378, 576, 588, 645, 648, 666, 690, 825, 915, 1872, 1908, 1962, 2265, 2286, 2484, 2556, 2688, 2934, 2970, 3168, 3258, 3294, 3345, 3366, 3390, 3564, 3615, 3690, 3852, 3864, 3930, 4428, 4464, 4557, 4880, 5526, 6084, 6315, 7695, 8154, 8736, 8883, 9015, 9036, 9330, 9386, 9396, 9414, 9522, 9639.

Qui trovate i numeri di Smith e Harshad inferiori a 108 (1.9 Mbyte).

 

Sono noti vari numeri di Smith palindromi, come 12345554321 (v. numeri palindromi).

 

Il minimo numero di Smith pandigitale è 1023465798 e il massimo senza ripetizione di cifre è 9876542103; se si esclude lo zero, minimo e massimo sono rispettivamente 123456879 e 987653214.

 

Il minimo numero di Smith che sia la concatenazione di due numeri di Smith è 2227.

 

I numeri di Smith inferiori a 1060 che si scrivono con una sola cifra sono: 4, 22, 666, 1111, 6666666, 4444444444, 44444444444444444444, 555555555555555555555555555, 55555555555555555555555555555555 e 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444.

 

Il concetto potrebbe essere esteso ad altre basi, ma comunemente ci si limita alla base 10.

 

Esistono numeri di Smith in più basi; a parte 4, che è numero di Smith in tutte le base maggiori di 4, il minimo esempio è 15, in base 2 e 8, mentre 27 è numero di Smith in base 7, 10 e 19.

 

Esistono anche numeri, come 6 e 8 e 12, che non sono numeri di Smith in nessuna base.

Bibliografia

  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

  • Guy, Richard K.;  Woodrow, Robert E.;  The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and Its History, Washington, Mathematical Association of America, 1994.
  • Pickover, Clifford A.;  The Wonders of Numbers, New York, Oxford University Press, 2001.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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