Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Kaprekar (costante di)

Rappresentazione dei numeri 

E’ chiamato “costante di Kaprekar” il numero 6174, da quando l’indiano Dattatraya Ramchandra Kaprekar (Dahanu, presso Mumbay, 1905 – Devlali, India, 1986) scoprì la sua curiosa proprietà, pubblicandola su Scripta Mathematica (n. 15, 1949): se si prendono le cifre che lo compongono in ordine discendente si ottiene 7641; prendendole in ordine ascendente si ottiene 1467. Sottraendo ora il secondo numero dal primo, si ottiene di nuovo 6174.

Gli unici altri numeri formati da cifre differenti con questa proprietà sono 495, 97508421, 864197532 e 9753086421.

 

Più in generale si chiamano “costanti di Kaprekar” in base b i numeri con la stessa proprietà, rappresentati in base b.

 

Le costanti di Kaprekar in base b sono multiple di b – 1.

 

In base 10 le costanti di Kaprekar note fino a 20 cifre sono: 0, 495, 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664, 9753086421, 9975084201, 86431976532, 555499994445, 633331766664, 975330866421, 997530864201, 999750842001, 8643319766532, 63333317666664, 97533308666421, 97755108844221, 99753308664201, 99975308642001, 99997508420001, 555549999944445, 864333197666532, 6333333176666664, 9753333086666421, 9775531088644221, 9975333086664201, 9977551088442201, 9997533086642001, 9999753086420001, 9999975084200001, 86433331976666532, 98765420987543211, 555554999999444445, 633333331766666664, 886644219977553312, 975333330866666421, 977553310886644221, 997533330866664201, 997755310886442201, 999753330866642001, 999775510884422001, 999975330866420001, 999997530864200001, 999999750842000001, 8643333319766666532, 9876543209876543211, 9987654209875432101, 63333333317666666664, 88664432199776553312, 97533333308666666421, 97755333108866644221, 97775551108884442221, 99753333308666664201, 99775533108866442201, 99975333308666642001, 99977553108864422001, 99997533308666420001, 99997755108844220001, 99999753308664200001, 99999975308642000001, 99999997508420000001 (Joseph Myers e Syed Iddi Hasan, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

In base 10 le costanti di Kaprekar sono infinite, perché includono varie sequenze infinite, come gli interi delle forme:

  • (5)n4(9)n + 1(4)n5, 6(3)n17(6)n4 (Jens Kruse Andersen, 2004);

  • 6(3)n17(6)n4 (Jens Kruse Andersen, 2004);

  • (8)m + 1(6)m + 1(4)m + 1(3)n(2)m1(9)m + 1(7)m + 1(6)n(5)m + 1(3)m + 1(1)m2, per qualsiasi combinazione di m e n (Syed Iddi Hasan, 2012);

  • (8)m + 1(7)2n(6)m + 1(5)n(4)m + n + 1(3)n(2)m + n1(9)m + 2n + 1(7)m + n + 1(6)n(5)m + n + 1(4)n(3)m + 1(2)2n(1)m2, per qualsiasi combinazione di m e n (Syed Iddi Hasan, 2012);

  • (9)n + 1(7)p5(3)m08(6)m4(2)p(0)n1, per qualsiasi combinazione di m, n e p (Alexander R. Povolotsky);

  • (9)m + 1(8)n(7)p + 1(6)n(5)p + 1(4)n(3)q(2)n(1)p0(9)n(8)p + 1(7)n(6)q(5)n(4)p + 1(3)n(2)p + 1(1)n(0)m1, per qualsiasi combinazione di m, n, p e q (Syed Iddi Hasan, 2012).

 

In base 2 le costanti di Kaprekar note fino a 20 cifre sono: 0, 10012 = 9, 101012 = 21, 1011012 = 45, 1100012 = 49, 10111012 = 93, 11010012 = 105, 101111012 = 189, 110110012 = 217, 111000012 = 225, 1011111012 = 381, 1101110012 = 441, 1110100012 = 465, 10111111012 = 765, 11011110012 = 889, 11101100012 = 945, 11110000012 = 961, 101111111012 = 1533, 110111110012 = 1785, 111011100012 = 1905, 111101000012 = 1953, 1011111111012 = 3069, 1101111110012 = 3577, 1110111100012 = 3825, 1111011000012 = 3937, 1111100000012 = 3969, 10111111111012 = 6141, 11011111110012 = 7161, 11101111100012 = 7665, 11110111000012 = 7905, 11111010000012 = 8001, 101111111111012 = 12285, 110111111110012 = 14329, 111011111100012 = 15345, 111101111000012 = 15841, 111110110000012 = 16065, 111111000000012 = 16129, 1011111111111012 = 24573, 1101111111110012 = 28665, 1110111111100012 = 30705, 1111011111000012 = 31713, 1111101110000012 = 32193, 1111110100000012 = 32385, 10111111111111012 = 49149, 11011111111110012 = 57337, 11101111111100012 = 61425, 11110111111000012 = 63457, 11111011110000012 = 64449, 11111101100000012 = 64897, 11111110000000012 = 65025, 101111111111111012 = 98301, 110111111111110012 = 114681, 111011111111100012 = 122865, 111101111111000012 = 126945, 111110111110000012 = 128961, 111111011100000012 = 129921, 111111101000000012 = 130305, 1011111111111111012 = 196605, 1101111111111110012 = 229369, 1110111111111100012 = 245745, 1111011111111000012 = 253921, 1111101111110000012 = 257985, 1111110111100000012 = 259969, 1111111011000000012 = 260865, 1111111100000000012 = 261121, 10111111111111111012 = 393213, 11011111111111110012 = 458745, 11101111111111100012 = 491505, 11110111111111000012 = 507873, 11111011111110000012 = 516033, 11111101111100000012 = 520065, 11111110111000000012 = 521985, 11111111010000000012 = 522753, 101111111111111111012 = 786429, 110111111111111110012 = 917497, 111011111111111100012 = 983025, 111101111111111000012 = 1015777, 111110111111110000012 = 1032129, 111111011111100000012 = 1040257, 111111101111000000012 = 1044225, 111111110110000000012 = 1046017, 111111111000000000012 = 1046529 (Joseph Myers,The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

In base 2 sono costanti di Kaprekar tutti gli interi della forma 22n – 2n + 1 + 1 e tutti i numeri ottenuti dalla ricorrenza a0 = 21; an + 1 = 2an + 3.

 

Esistono costanti di Kaprekar di 4 cifre solo nelle basi b della forma 2n • 5, con n nullo o dispari, nel qual caso definendo m = 2n · 3 e k = 2n, la costante, scritta come sequenza di cifre in base b, è:

  • m, (k – 1), (bk – 1), (bm), se m > k > 1;

  • m, (k – 1), (bm – 1), (bk), se m = k > 1;

  • (m – 1), (b – 1), (b – 1), (bm), se m > k = 1.

Se b = 10, m = 6 e k = 2, quindi siamo nel primo caso.

 

In qualsiasi base pari esiste un numero di Kaprekar pandigitale, formato dalle cifre dispari in ordine decrescente fino a 3, seguite da 0, dalle altre cifre pari, sempre in ordine decrescente, e da 1, analogo a 9753086421. A partire da questo e ripetendo più volte alcune cifre (per esempio, 3 e la seconda cifra pari dopo lo zero), si generano infiniti numeri con le stesse proprietà.

 

Le tabelle seguenti riportano tutte le costanti di Kaprekar con fino di 10 cifre, nelle basi sino a 20.

Cifre \ base

2

3

4

5

1

02 = 0

03 = 0

04 = 0

05 = 0

2

-

-

-

135 = 8

3

-

-

1324 = 30

-

4

10012 = 9

-

30214 = 201

30325 = 392

5

101012 = 21

202113 = 184

-

-

6

1011012 = 45, 1100012 = 49

-

2133124 = 2550, 3102214 = 3369, 3302014 = 3873

-

7

10111012 = 93, 11010012 = 105

22021013 = 2008

32032114 = 14565

-

8

101111012 = 189, 110110012 = 217, 111000012 = 225

210221113 = 5332

311022214 = 54441, 331022014 = 62625, 333020014 = 64641

-

9

1011111012 = 381, 1101110012 = 441, 1110100012 = 465

2220210013 = 19144

2213331124 = 171990, 3210322114 = 234405, 3320321014 = 254865

4320432115 = 1831056

10

10111111012 = 765, 11011110012 = 889, 11101100012 = 945, 11110000012 = 961

22102211013 = 55360

31110222214 = 873129, 32203321114 = 954261, 33110222014 = 1004193, 33310220014 = 1036929, 33330200014 = 1044993

-

 

Cifre \ base

6

7

8

9

1

06 = 0

07 = 0

08 = 0

09 = 0

2

-

-

258 = 21

-

3

2536 = 105

-

3748 = 252

-

4

-

-

-

-

5

415326 = 5600

-

-

628539 = 41520

6

3255236 = 27195, 4204326 = 33860, 5304216 = 42925

-

4377348 = 147420, 6406328 = 213402

-

7

-

-

64175328 = 1711962

-

8

431553226 = 1275170, 553042016 = 1657225

-

753064218 = 16092433

652885339 = 31531872

9

3325552236 = 6018495

-

4437773348 = 76545756

7531865329 = 326952560

10

43210443226 = 45962330, 44215533126 = 47681900, 53310442216 = 56319925, 55530420016 = 60331825

-

77530642018 = 1068263553

66328855239 = 2598744000

 

Cifre \ base

10

11

12

13

1

0

011 = 0

012 = 0

013 = 0

2

-

3711 = 40

-

-

3

495

-

5B612 = 858

-

4

6174

-

-

-

5

-

-

83B7412 = 172744

-

6

549945, 631764

-

65BB5612 = 1617330

951A7413 = 3488424

7

-

-

962B85312 = 28428543

-

8

63317664, 97508421

7431876411 = 144005800

873BB74412 = 308551012, A850A63212 = 383468294

9541A87413 = 590407848

9

554999445, 864197532

9751A853211 = 2074816680

665BBB55612 = 2812795986

-

10

6333176664, 9753086421, 9975084201

-

8843BB773412 = 44873359960

95441A887413 = 99790125192

 

Cifre \ base

14

15

16

17

1

014 = 0

015 = 0

016 = 0

017 = 0

2

4914 = 65

-

-

5B17 = 96

3

6D714 = 1365

-

7F816 = 2040

-

4

-

92B615 = 30996

-

-

5

-

A4E9515 = 523040

-

-

6

76DD6714 = 4033575

-

87FF7816 = 8912760

D91E7417 = 19218912

7

-

-

C83FB7416 = 209976180

-

8

CA70C63214 = 1344056324

A94EE95515 = 1814904980

-

-

9

776DDD66714 = 11121123195, B852DA85314 = 17116239465

C962EB85315 = 32363032128

887FFF77816 = 36641437560, DA72FC85316 = 58639501395

EB82GD85317 = 102371672448

10

-

AA54EE994515 = 410973731840

FDB70E842116 = 1089697907745

-

 

Cifre \ base

18

19

20

1

018 = 0

019 = 0

020 = 0

2

-

-

6D20 = 133

3

8H918 = 2907 (1)

-

9JA20 = 3990

4

-

-

C3F820 = 97508

5

C5HB618 = 1294584

-

-

6

98HH8918 = 17950725

-

A9JJ9A20 = 33599790, E82GB620 = 46102626

7

-

-

FA4JE9520 = 992797785

8

CB5HHB6618 = 7732110102

-

-

9

998HHH88918 = 104995732401

FB73IEB7419 = 264925230120

AA9JJJ99A20 = 269439995790, GC83JFB7420 = 425484764544

10

C7652ECBA618 = 2461299912294, CC65HHBB5618 = 2516428367700, HFD90G842118 = 3545674042933

FBA41GE87419 = 5036266221336

-

 

Se si sottrae il numero formato dalle cifre in ordine ascendente da quello formato dalle cifre in ordine discendente e si ripete la procedura, si finisce con zero o con una costante di Kaprekar o intrappolati in un ciclo. Per esempio, in base 10 partendo da un numero di 3 cifre servono al massimo 5 passaggi per arrivare a 0 o a 495 e partendo da un numero di 4 cifre ne servono al massimo 7 arrivare a 0 o a 6174, mentre i numeri di 5 cifre finiscono a zero o in uno dei tre cicli: { 53955, 59994 }, { 61974, 82961, 75933, 63954 } e { 62964, 71973, 83952, 74943 }.

Vedi anche

Costante di Trigg.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Gardner, Martin;  L’incredibile dottor Matrix, Bologna, Zanichelli, 1982 -

    Traduzione di The Incredible Dr. Matrix, New York, Charles Scribner’s Sons 1967. Divertente, come tutti i libri di Gardner.

  • Giblin, Peter;  Primes and Programming, Cambridge University Press, 1993.
  • Jordan, J.K.;  "Self Producing Sequences of Digits" in American Mathematical Monthly, n. 71, 1964.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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