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Hamilton (numeri di)

Algebra 

Il numero di Hamilton hn è il minimo grado di un’equazione polinomiale dalla quale possano essere rimossi n termini, dopo quello di grado massimo, risolvendo solo equazioni di grado non superiore a n, escludendo i casi nei quali si deve risolvere un’equazione di grado superiore a n, ma scomponibile in varie equazioni di grado inferiore.

Per esempio, h1 = 2, perché un’equazione di secondo grado x2 + ax + b = 0 può essere ridotta, sostituendo x = x’ + p, ottenendo x2 + (2p + a)x’ + p2 + ap + b = 0; il termine di primo grado si annulla se 2pa = 0 e questa è un’equazione di primo grado (rispetto a p), che ha per soluzione Soluzione dell'equazione.

Analogamente h2 = 3, perché un’equazione di terzo grado x3 + ax2 + bx + c = 0 può essere ridotta, tramite sostituzione di variabili, alla forma x3 + a’ = 0 (eliminando quindi 2 termini), senza risolvere equazioni di grado superiore al secondo. Per prima cosa si sostituisce x = x’ + w, e risolvendo un’equazione di primo grado si trova che Soluzione dell'equazione permette di eliminare il termine di secondo grado, ottenendo Equazione privata del termine di secondo grado, ovvero x3 + px = q, dove Formula per la definizione di p e Formula per la definizione di q. Ora bisogna procedere con la sostituzione di Vieta Sostituzione di Vieta, che ci dà Equazione dopo la sostituzione di Vieta, dalla quale si ottiene Equazione modificata dopo la sostituzione di Vieta. Sostituendo x”’ = x3, l’equazione diventa di secondo grado, risolvendola troviamo le soluzioni z1 e z2 e quindi abbiamo trasformato l’equazione originale nelle due equazioni x3z1 = 0 e x3z2 = 0.

 

I primi valori sono riportati nella tabella seguente.

n

hn

1

2

2

3

3

5

4

11

5

47

6

923

7

409619

8

83763206255

9

3508125906290858798171

10

6153473687096578758448522809275077520433167

11

18932619208894981833333582059033329370801266249535902023330546944758507753065602135843

 

W.R. Hamilton calcolò i primi 6 valori nel 1831, quindi J.J. Sylvester e M.J. Hammond gli intitolarono la sequenza nel 1887.

 

I valori possono essere calcolati con la ricorrenza h1 = 2, Ricorrenza per il calcolo dei numeri di Hamilton.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

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