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Interi di Gauss

Teoria dei numeri 

Gli interi di Gauss sono i numeri della forma a + ib, dove Formula per la definizione dell'unità immaginaria, con a e b interi; sono quindi interi algebrici di secondo grado.

Prendono il nome da Johann Carl Friedrich Gauss (30/4/1777 – 23/2/1855), che li introdusse nel 1832.

 

Costituiscono una struttura algebrica tecnicamente chiamata anello: come nel caso di interi ordinari, la somma, la differenza e il prodotto tra interi di Gauss sono sempre interi di Gauss, ma la divisione tra interi di Gauss dà un intero di Gauss solo in alcuni casi.

 

Hanno importanti applicazioni nella teoria dei numeri.

 

Si chiama “norma”di un intero di Gauss z = a + ib il quadrato del suo modulo cioè zz = |a + ib|2 = a2 + b2. La norma di un intero di Gauss è un intero positivo.

 

Tra gli interi di Gauss si considerano “unità” quelli con norma 1, ovvero i numeri:±1, ±i.

 

Un intero di Gauss si dice “pari” se multiplo di 1 + i; un intero di Gauss a + ib è pari se e solo se a + b è multiplo di 2.

 

Si chiamano “primi di Gauss” gli interi di Gauss diversi dalle unità che non sono il prodotto di altri interi di Gauss diversi dalle unità. I primi di Gauss sono 1 + i, i primi della forma 4k + 3, come 3, 7 e 11, e i numeri della forma a ± ib, dove a2 + b2 è un primo della forma 4k + 1, come 2 ± i, 3 ± 2i e 4 ± i. I numeri ottenuti moltiplicando un primo di Gauss per un’unità si considerano uguali al primo di partenza, quindi ±(2 + i) e ±(1 – 2i) sono lo stesso primo di Gauss.

Da notare che 2 non è un primo di Gauss, perché si scompone come prodotto di primi di Gauss: 2 = (1 + i)(1 – i) = i(1 – i)2.

 

Gauss dimostrò che la scomposizione in fattori primi degli interi di Gauss è unica, a meno di moltiplicazioni per le unità.

 

La probabilità che due interi di Gauss non superiori a n scelti a caso con probabilità uniforme siano primi tra loro tende al crescere di n a Limite cui tende probabilità che due interi di Gauss non superiori a n scelti a caso con probabilità uniforme siano primi tra loro, dove K è la costante di Catalan.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante.

 

Ogni numero complesso si trova a distanza (sul piano complesso) non superiore a Limite superiore per la distanza tra un intero di Gauss e un multiplo di n da un multiplo di un intero di Gauss fissato n e a distanza non superiore a Limite superiore per la distanza tra un numero complesso e l’intero di Gauss più vicino dall’intero di Gauss più vicino.

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