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Hafner – Sarnak – McCurley (costante di)

Probabilità e statistica  Teoria dei numeri 

Se prendiamo due numeri naturali a caso minori di n, la probabilità che essi non abbiano fattori comuni tende, per n tendente a infinito, a Limite cui tende la probabilità che due interi casuali non abbiano fattori comuni (Eulero); si può estendere l’analisi ad altri campi?

 

Hafner, Sarnak e McCurley esaminarono nel 1993 il caso di matrici m × m di numeri naturali minori di n, trovando che la probabilità che i loro determinanti non abbiano fattori comuni tende, al crescere di n, a Limite cui tende la probabilità che due matrici quadrate di dimensione m di interi casuali non abbiano fattori comuni, che per m = 1 si riduce appunto a Limite cui tende la probabilità che due interi casuali non abbiano fattori comuni.

 

Per m > 1 non si conoscono espressioni di P(m) come combinazioni di altre costanti. La tabella seguente mostra la probabilità per i primi valori di m.

P(m)

m

1

0.6079271019

2

0.453103

3

0.397276

4

0.373913

5

0.363321

 

Al crescere di m, P(m) decresce, tendendo a un limite, chiamato “costante di Hafner – Sarnak – McCurley” e uguale a Limite cui tende la probabilità che due matrici quadrate di interi casuali non abbiano fattori comuni.

Qui trovate le prime 40 cifre decimali della costante (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

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