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Gruppi abeliani (numero di)

Matematica combinatoria 

Determinare il numero gA(n) di gruppi abeliani non isomorfi di ordine n è relativamente semplice, grazie al teorema di decomposizione di Kronecker: se Scomposizione di n in fattori primi è la scomposizione di n in fattori primi, dove m = ω(n) è il numero di fattori primi distinti di n, il numero gA(n) di gruppi abeliani non isomorfi di ordine n è Formula per il calcolo del  numero di gruppi abeliani non isomorfi di ordine n, dove P(n) è il numero di partizioni di n.

Di conseguenza gA(n) è 1 se n non è multiplo di quadrati e gA(n) è uguale al numero di scomposizioni di n come prodotto di potenze di primi. Per esempio, gA(36) = 4 e 36 può essere scomposto come prodotto di potenze di primi in 4 modi: 2232, 2 • 2 • 32, 223 • 3, 2 • 2 • 3 • 3.

 

Un’interessante formula lega una somma infinita dei numeri di gruppi alla funzione ζ: Formula che lega una somma infinita dei numeri di gruppi abeliani alla funzione ζ.

 

Per quanto riguarda la somma dei valori di gA(n), B.R. Srinivasan dimostrò nel 1973 che Formula per la somma di numeri di gruppi abeliani, dove A1, A2 e A3 sono le costanti dei gruppi abeliani.

 

Per quanto riguarda la somma dei reciproci, J.-M. DeKoninck e A. Ivić dimostrarono nel 1980 che Somma dei reciproci di numeri di gruppi abeliani tende a B, dove Formula per la costante B e P(n) è il numero di partizioni di n.

Qui trovate le prime 74 cifre decimali della costante B (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

La tabella seguente riporta gA(n) per n da 1 a 20 (T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

gA(n)

1

1

2

1

3

1

4

2

5

1

6

1

7

1

8

3

9

2

10

1

11

1

12

2

13

1

14

1

15

1

16

5

17

1

18

2

19

1

20

2

 

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