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Gruppi (numero di)

Matematica combinatoria 

Il problema di contare il numero g(n) di gruppi non isomorfi di ordine n fu considerato per la prima volta da Cayley nel 1854 ed è tuttora irrisolto, nel senso che non si conosce alcuna formula generale.

 

Due gruppi sono isomorfi se l’ordine degli elementi di uno può essere permutato in modo che le loro tabelle di moltiplicazione coincidano. Come esempio, riporto le tabelle di moltiplicazione dei due gruppi di ordine 4: si può verificare che nessuna permutazione degli elementi dell’una la porta a coincidere con l’altra.

 

1

2

3

4

 

 

1

2

3

4

1

1

2

3

4

 

1

1

2

3

4

2

4

1

2

3

 

2

2

3

4

1

3

3

4

1

2

 

3

3

4

1

2

4

2

3

4

1

 

4

4

1

2

3

 

Il numerodi gruppi varia in modo irregolare; sono note alcune formule che si applicano a casi particolari:

  • per n primo, g(n) = 1;

  • per n uguale al quadrato di un primo, g(n) = 2;

  • per n uguale al cubo di un primo, g(n) = 5;

  • per n prodotto di primi distinti Formula per il calcolo del numero di gruppi non isomorfi di ordine n, dove la somma va calcolata sui divisori di n maggiori di 1, il prodotto sui primi che dividono d e op(k) è il numero di primi q che dividono k e tali che p divida q – 1 (O. Hölder, 1895) e in particolare per n = pq prodotto di due primi, con q > p, g(n) = 1, se p divide q – 1, g(n) = 2 altrimenti.

 

Negli anni vari matematici compilarono tabelle dei gruppi di vari ordini: G.A. Miller nel 1930 calcolò g(n) per n fino a 100 (con un errore per n = 64, che fu corretto solo nel 1964 da M. Hall Jr e J.K. Senior); J.K Senior e A.C. Lunn estesero nel 1934 il calcolo per n sino a 215, omettendo i casi 128 e 192.

Attualmente g(n) è noto per n sino a 2047; gli ultimi casi risolti furono g(512), da B. Eick e E.A. O’Brien nel 1999, e g(1024), da J.H. Conway e altri nel 2008.

 

K Dennis suppose che ogni intero positivo compaia infinite volte come valore di g(n), ma la congettura non è stata dimostrata, salvo che per i casi 1, 2 e 5.

 

Per quanto riguarda i limiti dei valori, si sa che Limite inferiore per il numero di gruppi non isomorfi di ordine n per n = pe con p primo e in generale g(n) ≤ clog2n per una costante c.

 

La tabella seguente riporta g(n) per n da 1 a 20 (H.-U. Besche e Ivan Panchenko, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

g(n)

1

1

2

1

3

1

4

2

5

1

6

2

7

1

8

5

9

2

10

2

11

1

12

5

13

1

14

2

15

1

16

14

17

1

18

5

19

1

20

5

 

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