Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Erdös sui numeri potenti (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Paul Erdös avanzò sei congetture sui numeri potenti.

 

La prima risale al 1965 e afferma che ogni intero abbastanza grande si può esprimere come somma di al massimo tre numeri potenti.

Fu dimostrata vera nel 1988 da Heath-Brown; gli interi non esprimibili in questo modo sono quindi in numero finito, ma non è detto che li conosciamo tutti; gli unici esempi noti sono: 7, 15, 23, 87, 111 e 119.

 

La seconda risale al 1975 e afferma che non esistano tre numeri potenti consecutivi; dalla congettura “abc” (tuttora non dimostrata) segue che terne del genere, se esistono, sono in numero finito. Non se ne conosce alcuna, ma la congettura non è stata dimostrata.

Nel 1986 R.A. Mollin e P.G. Walsh riproposero la congettura e dimostrarono che le seguenti affermazioni sono equivalenti:

  • non esistono tre numeri potenti consecutivi;

  • non esistono due numeri potenti a e b tali che a2b = 1.

La congettura implicherebbe l’esistenza di infiniti numeri primi non di Wieferich (A. Granville, 1986), fatto peraltro ritenuto vero da tutti i matematici.

La congettura implicherebbe anche che non esistono numeri potenti della forma n2k – 1 con n pari e k > 1, perché se n2k – 1 fosse potente, tali sarebbero i fattori nk – 1 e nk + 1, primi tra loro e quindi nk – 1, nk e nk + 1 sarebbero tre numeri potenti consecutivi.

Dato che, come notò Samuel W. Golomb nel 1970, tre numeri potenti consecutivi devono avere la forma 4k – 1, 4k, 4k + 1 e che negli anni ’70 non si conosceva neppure una coppia di numeri potenti della forma (4k – 1, 4k + 1), la congettura era considerata molto plausibile. Nel 1986 R.A. Mollin e P.G. Walsh dimostrarono che esistono infinite coppie del genere, la minima delle quali costituita da (130576327 = 736172, 130576329 = 114272), ma la congettura continua a essere considerata molto probabilmente vera.

 

La terza è che non esistono due numeri 3-potenti consecutivi.

 

La quarta risale al 1975 e afferma che esistono infinite esistono infinite terne di numeri 3-potenti x, y e z primi tra loro, tali che x + y = z.

Abderrahmane Nitaj dimostrò nel 1995 che la congettura è vera; la dimostrazione si basa sul fatto che da tre interi x0, y0 e z0 primi tra loro e tali che x(0)^3 + y(0)^3 = a * z(0)^3, si ricavano infinite triple con la stessa proprietà tramite la ricorrenza x(n + 1) = x(n) * (x(n)^3 + 2 * y(n)^3), y(n + 1) = –y(n) * (2 * x(n)^3 + y(n)^3), z(n + 1) = z(n) * (x(n)^3 – y(n)^3); se a non è multiplo di cubi e divide z(0)^3, x0 e y0 sono dispari e primi tra loro, x0 ≡ 2 mod 3 e y0 ≡ 1 mod 3, tutte le triple prodotte hanno i requisiti richiesti. Se alcuni numeri sono negativi, basta spostarli nell’altro membro dell’equazione.

Per esempio, iniziando con a = 9, x0 = –271, y0 = 919 e z0 = 438, otteniamo x1 = –415280564497, y1 = –676702467503 e z1 = –348671682660. Infatti 9193 = 2713 + 351463 e 4152805644973 + 676702467503 = 351162238942203.

J.H.E. Cohn dimostrò nel 1998 che esistono infinite terne del genere nei quali nessuno dei numeri è un cubo: infatti, x = 9712247684771506604963490444281, y = 32295800804958334401937923416351, z = 27474621855216870941749052236511 soddisfano l’equazione 32x3 + 49y3 = 81z3, poi da una terna se ne può costruire una nuova tramite le formule x’ = x(49y3 + 81z3), y’ = −y(32x3 + 81z3), z’ = z(32x3 − 49y3), dividendo x’, y’ e z’ per eventuali divisori comuni e spostando gli addendi da un membro all’altro dell’equazione, in modo da renderli tutti positivi.

 

La quinta è che il numero di interi potenti minori di n sia inferiore a logcn, per una costante c.

 

La sesta è che se pn è l’n-esimo numero potente, pn + 1pn > cnk, per due costanti c e k.

Vedi anche

Numeri potenti (I).

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.