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S-perfetti (numeri)

Teoria dei numeri 

Nel 1996 Andrew Granville definì un insieme S come segue: S contiene 1 e tutti i numeri naturali per i quali Somma dei divisori propri di n appartenenti a S. In altri termini, si inizia con 1 e si aggiungono via via i numeri non superiori alla somma dei loro divisori minori di n e appartenenti a S.

In questo modo finiscono nell’insieme tutti i numeri perfetti e deficienti, fra i quali i numeri primi e le loro potenze e i semiprimi, ma anche qualche numero abbondante, il minimo dei quali è 24, perché i suoi divisori che appartengono all’insieme sono: 1, 2, 3, 4, 6 e 8 e la loro somma è 24. Il minimo abbondante dispari in S è 2835.

 

Se p è un primo dispari e 2n – 1 ≤ p < 2n + 1 – 1 con n intero, 2kp è in S se e solo se k non è multiplo di n (Jean-Marie De Koninck e Alexsandar Ivić, 1998). Per esempio, 23 – 1 ≤ 11 ≤ 23 + 1 – 1 e 2k11 è in S se e solo se k non è multiplo di 3.

 

La maggior parte dei numeri naturali è in S, tuttavia se la densità di S esiste, non supera 11 / 12 (Jean-Marie De Koninck e Alexsandar Ivić, 1998).

 

Si chiamano “S-abbondanti” i numeri n minori di s(n), che quindi non fanno parte dell’insieme S, “S-deficienti” quelli maggiori di s(n) e “S-perfetti” o “numeri di Granville” quelli uguali a s(n).

 

Tutti i numeri S-abbondanti sono abbondanti.

 

A differenza di quanto accade con i numeri abbondanti, non è detto che un multiplo di un numero S-abbondante sia S-abbondante; per esempio, 12 è S-abbondante, ma 60 no.

 

Sono S-abbondanti, tra gli altri, i numeri delle forme:

  • 6pn, con p primo maggiore di 3;

  • 6pq, con p e q primi maggiori di 3;

  • 20pn, con p primo maggiore di 7.

 

Il minimo numero S-abbondante dispari è 945.

Il minimo numero S-abbondante non multiplo di un quadrato è 30; il minimo dispari è 2205.

Il minimo numero S-abbondante e quadrato pari è 196; il minimo dispari è 99225.

 

I numeri S-abbondanti minori di 100 sono: 12, 18, 20, 30, 42, 48, 56, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90.

Qui trovate i numeri S-abbondanti minori di 10000 (Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

La minima coppia di interi S-abbondanti consecutivi inizia con 5984, la minima tripla con 171078830.

 

Un numero della forma 2mp con p primo dispari è S-perfetto se e solo se p = 2n – 1 (cioè p è un primo di Mersenne) e m = kn – 1 (Jean-Marie De Koninck e Alexsandar Ivić, 1998). Tra le conseguenze:

  • tutti i numeri perfetti sono S-perfetti;

  • esistono infiniti numeri S-perfetti;

  • i numeri S-perfetti non superiori a n sono almeno Klogn, con Formula per la definizione di K, dove la somma va calcolata sui primi di Mersenne.

 

I primi numeri S-perfetti sono: 6, 24, 28, 96, 126, 224, 384, 496, 1536, 1792, 6144, 8128, 14336, 15872, 24576, 98304, 114688, 393216, 507904, 917504, 1040384, 1572864, 5540590, 6291456, 7340032, 9078520, 16252928, 22528935, 25165824, 33550336, 56918394, 58720256, 100663296, 133169152, 246650552, 402653184, 469762048, 520093696, 1610612736, 3758096384 (Donovan Johnson, William Rex Marshall, R.J. Mathar, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Tutti i numeri S-perfetti sono numeri di Zumkeller.

 

L’unico S-perfetto dispari noto è 22528935.

 

I numeri S-perfetti hanno quasi tutti la forma 2np, con p primo dispari; le uniche eccezioni note sono:

  • 126 = 2 • 32 • 7, che è l’unico della forma 2 • 32 • p con p primo e potrebbe essere l’unico con 3 fattori primi distinti (Jean-Marie De Koninck e Alexsandar Ivić, 1998);

  • 5540590 = 2 • 5 • 112 • 19 ∙ 241;

  • 9078520 = 23 • 5 • 11 • 47 • 439;

  • 22528935 = 34 • 5 • 11 • 13 • 389;

  • 56918394 = 2 • 33 • 13 • 79 • 3079;

  • 246650552 = 23 • 17 • 19 • 53 • 1801.

 

Sono stati anche cercati interi n tali che s(n) sia un multiplo razionale di n; Jean-Marie De Koninck e Alexsandar Ivić dimostrarono nel 1998 che per k intero non negativo:

  • per n = 4 • 32k + 1, s(n) = n / 2;

  • per n = 23 • 3 • 5k, s(n) = 3 / 2 * n.

 

- abbondante

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • De Koninck, Jean-Marie;  Ivić, Alexandar;  "On a Sum of Divisors Problem" in Publications de l’Institut Mathématique, vol. 64, 1998.

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