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Esagono di Graham (costante dello)

Geometria 

La figura piana di diametro unitario con l’area massima è il cerchio, ma qual è il poligono di n lati di diametro unitario (ossia con distanza tra due punti qualsiasi non superiore a 1) con l’area massima?

Per rendere massima l’area, il poligono deve essere convesso e il diametro di un poligono è determinato dalla massima distanza tra i vertici, quindi il problema può essere riformulato in questi termini: qual e il poligono convesso a n lati con distanza tra i vertici non superiore a 1 di area massima?

 

Per qualsiasi valore pari di n, l’area è almeno Area di un poligono regolare di diametro 1 con n lati, per n pari, che è l’area di un poligono regolare con n lati, inscritto in una circonferenza di diametro unitario; per n dispari un poligono di diametro unitario può essere iscritto in una circonferenza di diametro Diametro della circonferenza circoscritta a un poligono regolare di diametro 1 con n lati, per n dispari, leggermente maggiore.

 

Karl August Reinhardt (Francoforte sul Meno, 27/1/1895 – Berlino, 27/4/1941) dimostrò nel 1922 che nel caso di un numero dispari di lati l’area massima è quella dell’n-agono regolare di diametro 1, cioè Area di un poligono regolare di diametro 1 con n lati, per n dispari, e che la soluzione è unica.

Nel caso di un numero pari di lati, tuttavia, la situazione è più complessa e il problema generale è stato risolto solo molto tempo dopo.

 

Per n = 4, l’area massima è quella del quadrato con diagonale unitaria, vale a dire Area di un quadrato di diametro 1, ma la soluzione non è unica: esistono infiniti quadrilateri con la stessa area: tutti i quadrilateri convessi con diagonali perpendicolari lunghe 1.

 

Per n = 6, l’area dell’esagono regolare è Area di un esagono regolare di diametro 1, ma non è la massima possibile. Un esagono di area leggermente maggiore è quello mostrato nella figura, costituito da un pentagono regolare con diagonali di lunghezza 1, al quale si aggiunge un triangolo ottusangolo isoscele, avente uno dei lati del pentagono per base, in modo tale che la distanza tra il vertice A del triangolo e il vertice opposto B del pentagono sia 1, come mostra la figura seguente.

 

 Poligono di diametro 1 formato da un pentagono regolare e da un triangolo isoscele

 

L’area dell'esagono è Area dell'esagono di diametro 1.

 

Ronald L. Graham dimostrò nel 1975 che l’esagono mostrato nella figura seguente ha area leggermente maggiore (in azzurro le distanze unitarie che determinano il diametro della figura).

 

 Esagono di Graham

 

L’area è una delle radici dell’equazione 4096x10 + 8192x9 – 3008x8 – 30848x7 + 21056x6 + 146496x5 – 221360x4 + 1232x3 + 144464x2 – 78488x + 11993 = 0, pari a circa 0.6749814429, detta “costante dell’esagono di Graham”.

Qui trovate le prime 102 cifre decimali della costante (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Fissando un sistema di coordinate con l’origine nel vertice O, le coordinate (x, –y) del vertice A sono due delle soluzioni delle equazioni 8192x10 + 16384x9 – 19968x8 – 44032x7 + 18176x6 + 38528x5 – 8192x4 – 12672x3 + 2520x2 + 1440x – 351 = 0 e 8192y10 – 4096y9 – 3584y8 + 2048y7 – 14080y6 + 1920y5 + 13568y4 + 128y3 – 3160y2 – 720y – 135 = 0, ossia circa 0.3437714530 e 0.9390533468, mentre le coordinate del vertice B sono Coordinate del punto B.

Qui trovate le prime 102 cifre decimali della coordinata x (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 101 cifre decimali della coordinata y (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Graham suppose che una costruzione analoga alla prima, cioè un triangolo ottusangolo isoscele unito a un lato di un poligono regolare di n – 1 lati, fosse la soluzione per tutti i numeri n pari di lati maggiori di 6; l’area corrispondente è Massima area di un poligono di diametro unitario con n lati, per n pari e maggiore di 6.

Nel 2002 Charles Audet, Pierre Hansen, Frédéric Messine, e Junjie Xiong dimostrarono che questa è in effetti la soluzione ottimale per un poligono a 8 lati, provando tutte le configurazioni possibili con l’aiuto di un calcolatore.

Nel 2007 Jim Foster e Tamas Szabo dimostrarono finalmente che l’intuizione di Graham era corretta e la costruzione descritta produce il poligono di area massima per ogni numero pari di lati maggiore di 6.

 

La tabella seguente mostra le aree massime dei poligoni con fino a 20 lati.

Numero di lati

Area (approssimata)

3

0.4330127019

4

0.5

5

0.6571638901

6

0.6749814429

7

0.7197409265

8

0.7253199909

9

0.7456192318

10

0.7482573378

11

0.7587484457

12

0.7601970055

13

0.7663089269

14

0.7671877750

15

0.7710559166

16

0.7716285345

17

0.7742299084

18

0.7746235089

19

0.7764561644

20

0.7767382147

 

Bibliografia

  • Audet, Charles;  Hansen, Pierre;  Messine, Frédéric;  Xiong, Junjie;  "The Largest Small Octagon" in Journal of Combinatorial Theory, Series A n. 98, 2002, pag. 46 – 59.
  • Foster, Jim;  Szabo, Tamas;  "Diameter Graphs of Polygons and the Proof of a Conjecture of Graham" in Journal of Combinatorial Theory, Series A, n. 114, 2007, pag. 1515 – 1525.
  • Graham, Ronald L.;  "The Largest Small Hexagon" in Journal of Combinatorial Theory, Series A, n. 18, 1975, pag. 165 – 170.

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